Question

lmite de √x-1/(√2x+3)-√5 com x tendendo a 1

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Jodkid, que a resolução é mais ou menos simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para calcular o limite da seguinte expressão:

lim [√(x-1)]  / [√(2x+3) - √(5)]
x-->1

ii) Agora note uma coisa importante em limites: só haverá limite de uma expressão quando o limite for o mesmo para "x" tendendo ao número dado pela esquerda e tendendo ao número dado pela direita.

iii) Note que fica bastante claro que quando "x" tender a "1" pela esquerda, vamos ter raiz quadrada de números negativos e não existe isso no campo dos números reais. Veja (vamos dar o valor de um número bem pertinho de "1" vindo pela esquerda: digamos o número "0,98"). Assim iríamos ter:

lim [√(0,98-1)] / [√(2*0,98+3) - √(5)]
x-->1⁻


lim [√(0,98-1)] / [√(2*0,98+3) - √(5)]
x-->1⁻

lim [√(-0,02)] / [√(1,96+3) - √(5)]
x-->1⁻

lim [√(-0,02)] / [√(4,96) - √(5)]
x-->1⁻

Note: chegamos a algo impossível no campo dos Reais. Não há raiz quadrada de números negativos. Logo, não há limite quando "x" tende a "1" pela esquerda.

iv) Agora vamos para a hipótese de "x" tender a "1" pela direita (vamos dar um valor de "x" igual a "1,01" por exemplo). Assim teríamos:

lim [√(1,01-1))] / [√(2*1,01+3) - √(5)] ---- desenvolvendo,  temos:
x-->1⁺

lim [√(1,01-1))] / [√(2,02+3) - √(5)] --- continuando, temos:
x-->1⁺

lim [√(0,01)] / [√(5,02) - √(5)]
x-->1⁺

Veja: temos no numerador √(0,01), o que dá igual a "0,1"; e temos no denominador √(5,02) = 2,24 (aproximadamente) - √(5) = 2,23 (aproximadamente). Assim, iríamos ficar com:

lim [0,1] / [(2,24 - 2,23] --- continuando, temos:
x-->1⁺

lim [0,1] / [(0,01)]
x-->1⁺

Note se começarmos a dar valores bem mais próximos de "1" quanto possível, iríamos ter valores bem menores no denominador, fazendo com que a tendência de "x" a "1" pela direita se aproximasse de + infinito. Logo, iríamos ter que:

lim [√(x-1)] / [√(2x+3) - √(5)] = +∞
x-->1⁺

v) Assim, como não há o mesmo limite quando "x" tende a "1" pela esquerda e a "1" pela direita, então simplesmente dizemos que não há limite da expressão dada quando "x" tende a "1".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.