Question

lll.23) Transforme em produto a expressão Sen A + Sen B + Sen C, sabendo que a, b e c são ângulos internos de um triângulo.

gabarito: 4cos a/2 * cos b/2 * cos c / 2

Answer 1

Resposta: $4cos(\frac{A}{2})cos(\frac{B}{2})cos(\frac{C}{2})$

Explicação passo-a-passo:

Listarei abaixo todas as identidades algébricas que serão usadas na resolução do exercício.

$sen(x)+sen(y)=2sen(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2})$, ∀ x, y ∈ R  (i)

$cos(x)+cos(y)=2cos(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2})$, ∀ x, y ∈ R  (ii)

$sen(x)=cos(\frac{\pi}{2}-x)$, ∀ x ∈ R  (iii)

$cos(x)=sen(\frac{\pi}{2}-x)$, ∀ x ∈ R  (iv)

$sen(x)=2sen(\frac{x}{2})cos(\frac{x}{2})$, ∀ x ∈ R  (v)

A questão proposta também informa que A, B e C são ângulos internos de um triângulo, com isso obteremos a seguinte relação (oriunda do Teorema Angular de Tales):

$A+B+C\ =\ \pi$

Assim sendo, obteremos:

$sen(A)+sen(B)+sen(C)$ =

$sen(A)+2sen(\frac{B+C}{2})cos(\frac{B-C}{2})$ =

$2sen(\frac{A}{2})cos(\frac{A}{2}) + 2sen(\frac{\pi}{2}-\frac{A}{2})cos(\frac{B-C}{2})$ =

$2sen(\frac{A}{2})cos(\frac{A}{2})+2cos(\frac{A}{2})cos(\frac{B-C}{2})$ =

$2cos(\frac{A}{2})[sen(\frac{A}{2})+cos(\frac{B-C}{2})]$ =

$2cos(\frac{A}{2})[cos(\frac{\pi}{2}-\frac{A}{2})+cos(\frac{B-C}{2})]$ =

$2cos(\frac{A}{2})[2cos(\frac{\pi -A-C+B}{4})cos(\frac{\pi-A-B+C}{4})]$ =

$2cos(\frac{A}{2})[2cos(\frac{B+B}{4})cos(\frac{C+C}{4})]$ =

$2cos(\frac{A}{2})[2cos(\frac{B}{2})cos(\frac{C}{2})]$ =

$4cos(\frac{A}{2})cos(\frac{B}{2})cos(\frac{C}{2})$

Abraços!