Question

Lista de exercícios - VIII UFRN

Professor: David Zavaleta Villanueva

2)Encontre as equações das retas tangentes ao gráfico das funções,
nos pontos dados:

D)

$Y=3Sen^2\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)~~~~X_0=\dfrac{\pi}{8}$

Answer 1

Usando  a equação fundamental  da reta podemos concluir que a reta tangente a função $Y=3Sen^2\left(2x+\dfrac{\pi}{4} \right)$ no ponto $X_0=\dfrac{\pi}{8}$ é

$\large\text{ \boxed{\boxed{Y=3 }} }$

Mas, como chegamos nessa conclusão?

Temos que encontrar a reta tangente da seguinte função

$Y=3Sen^2\left(2x+\dfrac{\pi}{4} \right)$

Para encontrar a reta tangente usamos a equação fundamental da reta

• $\large\text{ \boxed{\boxed{Y-Y_0=M\cdot \left(X-X_0\right)}} }$

O primeiro passo é achar o ponto $\left(X_0, Y_0\right)$. Perceba que  a questão nos da o $x_0$ mas não da o $y_0$, então temos que descobrir o seu valor

Como ja temos o $x_0$ basta substituirmos na função e acharemos o $y_0$

$Y=3Sen^2\left(2x+\dfrac{\pi}{4} \right)\\\\\\Y=3Sen^2\left(2\cdot \dfrac{\pi}{8} +\dfrac{\pi}{4} \right)\\\\\\Y=3Sen^2\left(\dfrac{\pi}{4} +\dfrac{\pi}{4} \right)\\\\\\Y=3Sen^2\left(\dfrac{2\pi}{4} \right)\\\\\\Y=3Sen^2\left(\dfrac{\pi}{2} \right)\\\\\\Y=3\cdot 1^2 \right)\\\\\\\boxed{Y=3}$

Agora que temos os pontos $\left(X_0, Y_0\right)\Rightarrow \left(\dfrac{\pi}{8} ,3\right)$  Basta acharmos o M que é o Coeficiente angular da reta

$\boxed{M=F'(X_0)}$

Para acharmos o Coeficiente angular  da reta Vamos ter que derivar a função e  em seguida substituir X por $x_0$ para isso vamos relembrar algumas regras da derivação

• Regra da cadeia

        $\boxed{\dfrac{dy}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}=\dfrac{dy}{dx} }$

• Derivada do Seno  

        $\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(Sen(x)\right)= Cos(x) }$

• Derivada de uma variável elevada a uma constante

        $\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(X^C\right)=C\cdot X^{C-1} }$

Com isso vamos derivar a função

$\large\dfrac{dy}{dx}\left(3Sen^2\left(2x+\dfrac{\pi}{4} \right)\right)\Rightarrow 3\dfrac{dy}{dx}\left(Sen^2\left(2x+\dfrac{\pi}{4} \right)\right)\Rightarrow$

$\large3\dfrac{dy}{du}\left(U^2 \right)\cdot\dfrac{du}{dx}\left(Sen(2x+\dfrac{\pi}{x} \right) \Rightarrow$

$\large3\cdot 2U\cdot \dfrac{du}{dz}\left(Sen(z)\right)\cdot \dfrac{dz}{dx} \left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)\Rightarrow$

$\large3\cdot 2U\cdot Cos(z)\cdot 2\Rightarrow 3\cdot2(Sen\left(4x+\frac{\pi}{4}\right) )\cdot Cos\left(2x+\dfrac{\pi}{4} \right)\cdot 2\Rightarrow$

$\large\text{ \boxed{12Sen\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)Cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)} }$

Agora achamos a derivada basta substituir X por $\dfrac{\pi}{8}$ e teremos nossa coeficiente angular

$\large12Sen\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)Cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\\\\\\\large12Sen\left(2\cdot \frac{\pi}{8} +\frac{\pi}{4}\right)Cos\left(2\cdot \frac{\pi}{8} +\frac{\pi}{4}\right)\\\\\\\large12Sen\left(\frac{\pi}{4} +\frac{\pi}{4}\right)Cos\left(\frac{\pi}{4} +\frac{\pi}{4}\right)\\\\\\\large12Sen\left(\frac{\pi}{2} )Cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\\\\\\\large12\cdot 1 \cdot 0\\\\\\\large0$

Ou seja $M=0$

Substituindo na equação fundamental da reta temos

$\largeY-Y_0=M\cdot \left(X-X_0\right)\\\\\\\largeY-3=0\cdot \left(X-\dfrac{\pi}{8} \right)\\\\\\\largeY-3=0\\\\\\\large\boxed{Y=3}$

Achamos nossa reta tangente