Question

Lista de exercícios - VIII UFRN
Professor: David Zavaleta Villanueva

2)Encontre as equações das retas tangentes ao gráfico das funções,
nos pontos dados:

B) $Y=\sqrt{x+2}+3~~~X_0=2$

Answer 1

Usando  a equação fundamental  da reta podemos concluir que a reta tangente a função $Y=\sqrt{x+2}+3$ no ponto $X_0=2$ é

$\large\text{ \boxed{\boxed{Y=\dfrac{x}{4}+\frac{9}{2} }} }$

Mas, como chegamos nessa conclusão?

Temos que encontrar a reta tangente da seguinte função

$Y=\sqrt{x+2}+3$

Para encontrar a reta tangente usamos a equação fundamental da reta

• $\large\text{ \boxed{\boxed{Y-Y_0=M\cdot \left(X-X_0\right)}} }$

O primeiro passo é achar o ponto $\left(X_0, Y_0\right)$. Perceba que  a questão nos da o $x_0$ mas não da o $y_0$, então temos que descobrir o seu valor

Como ja temos o $x_0$ basta substituirmos na função e acharemos o $y_0$

$Y=\sqrt{x+2}+3~~ ~X_0=2$

$Y=\sqrt{2+2}+3\\\\Y=\sqrt{4}+3\\ \\Y=2+3\\\\Y=\boxed{5}$

Agora que temos os pontos $\left(X_0, Y_0\right)\Rightarrow (2,5)$  Basta acharmos o M que é o Coeficiente angular da reta

$\boxed{M=F'(X_0)}$

Para acharmos o coeficiente angular da reta Vamos ter que derivar a função e  em seguida substituir X por $x_0$ para isso vamos relembrar algumas regras da derivação

• Regra da cadeia

        $\boxed{\dfrac{dy}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}=\dfrac{dy}{dx} }$

• Derivada da Raiz quadrada

         $\boxed{\dfrac{dy}{dx} \left(\sqrt{x}\right) =\dfrac{1}{2\sqrt{x} } }$

• Derivada de uma variável elevada a uma constante

        $\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(X^C\right)=C\cdot X^{C-1} }$

• Derivada de uma constante

        $\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(C\right)=0 }$

Com isso em mente vamos derivar a função e ao derivarmos substituiremos X por 2, para achar a inclinação da reta

$\large\dfrac{dy}{dx} \left(\sqrt{x+2}+3\right)\Rightarrow\dfrac{dy}{dx} \left(\sqrt{x+2}\right)+\dfrac{dy}{dx}(3)\Rightarrow$

$\large\text{ \dfrac{dy}{du} \left(\sqrt{u}\right)\cdot \dfrac{du}{dx}\left(x+2\right) +0\Rightarrow \dfrac{1}{2\sqrt{u}}\cdot 1\Rightarrow \boxed{\dfrac{1}{2\sqrt{x+2} }} }$

Agora que achamos a derivada  vamos substituir X por 2

$\large\text{ \dfrac{1}{2\sqrt{x+2} } \Rightarrow \dfrac{1}{2\cdot \sqrt{2+2} }\Rightarrow \dfrac{1}{2\cdot \sqrt{4} } \Rightarrow \boxed{\dfrac{1}{4}} }$

Assim concluímos que o coeficiente angular da tangente é $\dfrac{1}{4}$

$\boxed{M=\dfrac{1}{4} }$

Com isso basta substituirmos na equação fundamental da reta e acharmos a nossa reta tangente

$\largeY-Y_0=M\cdot \left(X-X_0\right)\\\\\\\largeY-5=\dfrac{1}{4} \cdot \left(X-2\right)\\\\\\\largeY-5=\dfrac{x}{4}-\dfrac{2}{4} \\\\\\\largeY=\dfrac{x}{4}-\dfrac{2}{4}+5 \\\\\\\large\text{ \boxed{Y=\dfrac{x}{4}+\dfrac{9}{2} } }$

Assim encontramos nossa reta tangente

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação reduzida da reta tangente à curva da referida função passando pelo referido ponto de tangência "T" é:

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = \frac{x}{4} + \frac{18}{4}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função:

            $\Large\begin{cases} y = \sqrt{x + 2} + 3\\x_{0} = 2\end{cases}$

Sabendo que "y = f(x)" e que x0 é a abscissa do ponto de tangência "T" então, podemos reescrever os dados como:

            $\Large\begin{cases} f(x) = \sqrt{x + 2} + 3\\x_{T} = 2\end{cases}$

Para montarmos a equação da reta "t" tangente ao gráfico da referida função, passando pelo ponto de tangência "T", podemos utilizar a fórmula do ponto/declividade, ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$           $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{T} = m_{t}\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$

Sabendo que o coeficiente angular da reta tangente é numericamente igual à primeira derivada da função no ponto de abscissa "Xt", ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} m_{t} = f'(x_{T})\end{gathered}$

Além disso, sabemos também que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} y_{T} = f(x_{T})\end{gathered}$

Substituindo "II" e "III" em "I", temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf IV\end{gathered}$         $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - f(x_{T}) = f'(x_{T})\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$

Substituindo os dados na equação "IV", temos:

   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} y - (\sqrt{2 + 2} + 3) = \frac{1}{2}\cdot(2 + 2)^{\frac{1}{2} - 1}\cdot(x - 2)\end{gathered} }$

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} y- (\sqrt{4} + 3) = \frac{1}{2}\cdot(2 + 2)^{-\frac{1}{2}}\cdot(x - 2)\end{gathered} }$

                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} y - (2 + 3) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{(2 + 2)^{\frac{1}{2}}}\cdot(x - 2)\end{gathered} }$

                             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} y - 5 = \frac{1}{2\sqrt{2 + 2}}\cdot(x - 2)\end{gathered} }$

                             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} y - 5 = \frac{1}{2\sqrt{4}}\cdot(x - 2)\end{gathered} }$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 5 = \frac{1}{2\cdot2}\cdot(x - 2)\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 5 = \frac{1}{4}\cdot(x - 2)\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf V\end{gathered}$                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 5 = \frac{x}{4} - \frac{2}{4}\end{gathered}$

Chegando neste ponto devemos saber qual deve ser a forma final da equação da reta tangente. Como não nos foi informado a forma final da reta, vou deixa-la em sua forma reduzida. Para isso, devemos isolar a incógnita "y" no primeiro membro da equação "V". Então, temos:

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = \frac{x}{4} - \frac{2}{4} + 5\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = \frac{x - 2 + 20}{4}\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = \frac{x + 18}{4}\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = \frac{x}{4} + \frac{18}{4}\end{gathered}$

✅ Portanto, a forma reduzida da equação tangente é:

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} t: y = \frac{x}{4} + \frac{18}{4}\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$