Matemática, perguntado por Skoy, 5 meses atrás

Lista de exercícios - VIII UFRN
Professor: David Zavaleta Villanueva

2)Encontre as equações das retas tangentes ao gráfico das funções,
nos pontos dados:

A) $Y=x^3+1~~ x_0=1$

Soluções para a tarefa

Respondido por Sban1

Usando a equação fundamental de uma reta podemos concluir que a reta tangente a função $Y=x^3+1$ no ponto $x_0=1$ é

$\large\text{$\boxed{\boxed{Y=3x-1}}$}$

Mas, como chegamos nessa conclusão?

Temos que encontrar a reta tangente da seguinte função

$Y=x^3+1$

Para encontrar a reta tangente usamos a equação fundamental da reta

$\large\text{$\boxed{\boxed{Y-Y_0=M\cdot \left(X-X_0\right)}}$}$

O primeiro passo é achar o ponto $\left(X_0, Y_0\right)$ . Perceba que a questão nos da o $x_0$ mas não da o $y_0$ , então temos que descobrir o seu valor

Como ja temos o $x_0$ basta substituirmos na função e acharemos o $y_0$

$Y=x^3+1$ $x_0=1$

$Y=1^3+1\\\\Y=1+1\\\\\boxed{Y=2}$

Assim encontramos que no ponto $X_0=1$ o ponto corresponde em Y é $Y_0=2$

Bem agora so temos que encontrar a Coeficiente angular que é dada pela DERIVADA da função e depois substituindo X por $X_0=1$ . Então vamos lá.

$\large\text{$\dfrac{dy}{dx}\left(x^3+1\right) \Rightarrow \boxed{3x^2}$}$

Agora que achamos a derivada, basta substituir X por $X_0=1$ e assim teremos nosso Coeficiente

$\large\text{$3x^2\Rightarrow 3\cdot 1 \Rightarrow \boxed{3}$}~~~\\\\\large\text{$\boxed{M=3}$}$

Assim basta substituirmos tudo que encontramos para achar a reta tangente a função

$\large\text{$Y-Y_0=M\cdot \left(X-X_0\right)$}\\\\\\\large\text{$Y-2=3\cdot \left(X-1\right)$}\\\\\\\large\text{$Y-2=\left(3X-3\right)$}\\\\\\\large\text{$Y=3X-3+2$}\\\\\\\large\text{$\boxed{Y=3X-1}$}$

Achamos a nossa reta tangente

Anexos:

solkarped: Excelente resposta Sban1

Respondido por solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação reduzida da reta tangente à curva da referida função polinomial do terceiro grau "f(x) = x³ + 1" passando pela abscissa do ponto de tangência "x0 = 1" é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = 3x - 1\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases} y = x^{3} + 1\\x_{0} = 1\end{cases}$

Sabendo que y = f(x) e que x0 = xt então, podemos reescrever os dados como:

$\Large\begin{cases} f(x) = x^{3} + 1\\x_{T} = 1\end{cases}$

Para montarmos a equação da reta tangente ao gráfico da referida função, devemos utilizar a fórmula "ponto/declividade", também conhecida como "equação fundamental da reta", isto é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{T} = m_{t}\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$}$

Sabendo que o coeficiente angular da reta tangente é numericamente igual à primeira derivada da função no ponto de abscissa "Xt", ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} m_{t} = f'(x_{T})\end{gathered}$}$

Além disso, sabemos também que:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y_{T} = f(x_{T})\end{gathered}$}$

Substituindo "II" e "III" em "I", temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf IV\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - f(x_{T}) = f'(x_{T})\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$}$

Substituindo os dados na equação "IV", temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - (1^{3} + 1) = (3\cdot1^{3 - 1} + 0)\cdot(x - 1)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - (1 + 1) = (3\cdot1^{2})\cdot(x - 1)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 2 = 3\cdot(x - 1)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 2 = 3x - 3\end{gathered}$}$

Chegando neste ponto devemos saber qual deve ser a forma final da equação da reta tangente. Como não nos foi informado a forma final da reta, vou deixa-la em sua forma reduzida. Para isso, devemos isolar a incógnita "y" no primeiro membro da equação "V". Então, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = 3x - 3 + 2\end{gathered}$}$