Question

Lista de exercícios - VIII UFRN

Professor David Zavaleta Villanueva

1)


Encontre as derivadas das funções:

H)

$\large\text{ Y=\dfrac{a}{\sqrt[3]{x^2} } -\dfrac{b}{x\sqrt[3]{x} } }$ sendo a ,b $\in R$

Answer 1

Usando as propriedades das derivadas podemos concluir que a derivada da função $Y=\dfrac{a}{\sqrt[3]{x^2} } -\dfrac{b}{x\sqrt[3]{x} }$ é

$\large\text{ \boxed{\boxed{-\dfrac{2a}{3x^{\frac{5}{3}}}+\dfrac{4b}{3x^{\frac{7}{3}}}}} }$

Mas, Como chegamos nessa resposta?

Temos que derivar a seguinte função

$Y=\dfrac{a}{\sqrt[3]{x^2} } -\dfrac{b}{x\sqrt[3]{x} }$

Antes de começarmos vamos simplificar nossa função, transformando raiz em expoente fracionário para simplificar os cálculos

• Raiz em expoente fracionário

     $\large\text{ \boxed{\sqrt[a]{x^b}=x^{\frac{a}{b} } } }$

• Multiplicação de potencias da mesma base

         $\large\text{ \boxed{X^A+X^B=X^{A+B} } }$

• Denominador virando numerador com expoente negativo

         $\large\text{ \boxed{\dfrac{1}{X^{N}} =X^{-N}} }$

Com isso em mente. Vamos lá

$\Large\text{ \dfrac{a}{\sqrt[3]{x^2} } -\dfrac{b}{x\sqrt[3]{x} }\Rightarrow \dfrac{a}{x^{\frac{2}{3} } } -\dfrac{b}{x\cdot x^{\frac{1}{3} }}\Rightarrow\boxed{\dfrac{a}{x^{\frac{2}{3} } } -\dfrac{b}{ x^{\frac{4}{3} }}} }$

Agora que simplificamos a nossa função vamos achar sua derivada usando as propriedades da potencia

• Derivada de uma variável elevada a uma constante

        $\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(X^C\right)=C\cdot X^{C-1} }$

• Derivada de uma Constante multiplicando a variável

        $\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(C\cdot X\right)=C\cdot\dfrac{dy}{dx}\left(X\right) }$  

Vamos lá

$\Large\text{ \dfrac{dy}{dx} \left(\dfrac{a}{x^{\frac{2}{3} } } -\dfrac{b}{ x^{\frac{4}{3} }}\right)\Rightarrow\dfrac{dy}{dx} \left(\dfrac{a}{x^{\frac{2}{3} } } \right)-\dfrac{dy}{dx} \left(\dfrac{b}{x^{\frac{4}{3} } } \right)\Rightarrow }$

$\Large\text{ a\cdot \dfrac{dy}{dx} \left(\dfrac{1}{x^{\frac{2}{3} } } \right)-b\cdot \dfrac{dy}{dx} \left(\dfrac{b}{x^{\frac{4}{3} } } \right)\Rightarrow }$

$\Large\text{ a\cdot \dfrac{dy}{dx} \left(x^{-\frac{2}{3} }\right)-b\cdot \dfrac{dy}{dx} \left(x^{-\frac{4}{3} } \right)\Rightarrow }$

Aplicando  a Derivada de uma Constante multiplicando a variável

$\Large\text{ a\cdot \left(-\frac{2}{3}\cdot x^{-\frac{2}{3}-1 }\right)-b\cdot \left(-\dfrac{4}{3}\cdot x^{-\frac{4}{3} -1} \right)\Rightarrow }$

$\Large\text{ a\cdot \left(-\dfrac{2}{3}\cdot x^{-\frac{5}{3} }\right)-b\cdot \left(-\dfrac{4}{3}\cdot x^{-\frac{7}{3} } \right)\Rightarrow }$

Aplicando as propriedades da potencia

$\Large\text{ a\cdot \left(-\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{x^{\frac{5}{3} }} \right)-b\cdot \left(-\dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{1}{ x^{\frac{7}{3} }} \right)\Rightarrow }$

$\Large\text{ a\cdot \left( - \dfrac{2}{3x^{\frac{5}{3} }} \right)-b\cdot \left( -\dfrac{4}{ 3x^{\frac{7}{3} }} \right)\Rightarrow }$

$\Large\text{ \boxed{- \dfrac{2a}{3x^{\frac{5}{3} }}+ \dfrac{4b}{ 3x^{\frac{7}{3} }} } }$

Assim concluirmos que a derivada da função é

$\Large\text{ \boxed{- \dfrac{2a}{3x^{\frac{5}{3} }}+ \dfrac{4b}{ 3x^{\frac{7}{3} }} } }$