Question

Lista de exercícios - VIII UFRN
Professor David Zavaleta Villanueva

1)

Encontre as derivadas das funções:

D)
$\largeY=\dfrac{tg(x)-ctg(x)}{tg(x)+ctg(x)}$

Answer 1

Usando as propriedades das derivadas podemos concluir que a derivada da função $\largeY=\frac{tg(x)-ctg(x)}{tg(x)+ctg(x)}$  é

$\large\text{ \boxed{\boxed{2\cdot sen(2x)}} }$

Mas, Como chegamos nessa resposta?

Temos que derivar a seguinte função

$\largeY=\dfrac{tg(x)-ctg(x)}{tg(x)+ctg(x)}$

Perceba que antes de começarmos a derivar podemos simplificar essa função com propriedades trigonométricas

Vamos relembrar que:

• Definição de tangente

       $\boxed{Tg(x)=\dfrac{Sen(x)}{Cos(x)}}$

• Definição de cotangente

        $\boxed{Ctg=\dfrac{Cos(x)}{Sen(x)}}$

• Propriedade fundamental da trigonometria

        $\boxed{Sen^2(x)+Cos^2(x)=1}$

• Diferença entre seno e cosseno ambos ao quadrado

        $\boxed{Sen^2(x)-Cos^2(x)=-Cos(2x)}$

Com isso em mente vamos lá

$\large\text{ \dfrac{tg(x)-ctg(x)}{tg(x)+ctg(x)} \Rightarrow \dfrac{\dfrac{Sen(x)}{Cos(x)}-\dfrac{Cos(x)}{Sen(x)} }{\dfrac{Sen(x)}{Cos(x)}+\dfrac{Cos(x)}{Sen(x)} } \Rightarrow\dfrac{\dfrac{Sen^2(x)- Cos^2(x)}{Cos(x)\cdot Sen(x)} }{\dfrac{Sen^2(x)+ Cos^2(x)}{Cos(x)\cdot Sen(x)} } \Rightarrow }$

$\large\dfrac{Sen^2(x)-Cos^2(x)}{Cos(x)\cdot Sen(x)} \cdot \dfrac{Cos(x)\cdot Sen(x)}{Sen^2(x)+Cos^2(x)} \Rightarrow\dfrac{Sen^2(x)-Cos^2(x)}{Sen^2(x)+Cos^2(x)}$

$\large\dfrac{-Cos(2x)}{1}\Rightarrow\boxed{-Cos(2x)}$

Logo concluirmos que

$\large\text{ \boxed{\dfrac{tg(x)-ctg(x)}{tg(x)+ctg(x)} =-Cos(2x)} }$

Então vamos achar a derivada de $-Cos(2x)$  

Lembrando que:

• Derivada do Cosseno(x)

        $\boxed{\dfrac{dy}{dx}(Cos(x))= -Sen(x)}$

• Regra da cadeia

        $\boxed{(F(g(x)))^{'}=F(g(x))' \cdot g'(x)}$

• Constante multiplicando uma variável na derivada $\boxed{\dfrac{dy}{dx}\left(C\cdot X\right)= C\cdot \dfrac{dy}{dx}\left(X\right) }$

Agora vamos resolver a derivada

$\large\dfrac{dy}{dx} \left(-cos(2x)\right)\Rightarrow- \dfrac{dy}{dx} \left(cos(2x)\right)\Rightarrow- \dfrac{dy}{du} \left(cos(U)\right)\cdot \dfrac{du}{dx} (2x) \Rightarrow$

$\large- \left(-Sen(U)\cdot 2 \right)\Rightarrow 2Sen(U)\Rightarrow \boxed{2Sen(2x)}$

Assim concluirmos que a derivada da função $\largeY=\frac{tg(x)-ctg(x)}{tg(x)+ctg(x)}$ é

$\large\text{ \boxed{\boxed{2\cdot Sen(2x)}} }$