Question

Lista de exercícios - VIII UFRN
Professor David Zavaleta Villanueva

1)

Encontre as derivadas das funções:

B) $\largeY=\dfrac{ln(x)}{x^2+x+1}$

Answer 1

Usando as propriedades das derivadas podemos concluir que a derivada da função  $Y=\dfrac{ln(x)}{x^2+x+1}$  é

$\large\text{ \boxed{\boxed{\dfrac{x^2+x+1-(2x+1)\cdot ln(x)}{x\cdot (x^2+x+1)^2} }} }$

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos que derivar a seguinte função

$Y=\dfrac{ln(x)}{x^2+x+1}$

Para derivarmos essa função precisamos lembrar de algumas regras da derivação

• Regra do quociente

    $\boxed{\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'\cdot g-g'\cdot f}{g^2}}$

• Derivada do Logaritmo natural

      $\boxed{Ln(x)'= \frac{1}{x} }$

• Derivada de uma constante elevada a uma variável qualquer $\boxed{\dfrac{d}{dx}\left(X^N\right)=N\cdot X^{N-1}}$

Com isso em mente vamos resolver o problema. Aplicando a regra do quociente temos  $\boxed{\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'\cdot g-g'\cdot f}{g^2}}$

$\large\left(\dfrac{ln(x)}{x^2+x+1}\right)'\Rightarrow \dfrac{(\left ln(x) \right)'\cdot (x^2+x+1)-ln(x)\cdot \left(x^2+x+1\right)'}{(x^2+x+1)^2} \Rightarrow$

$\large\text{ \dfrac{\dfrac{1}{x} \cdot (x^2+x+1)-ln(x)\cdot (2x+1)}{(x^2+x+1)^2}\Rightarrow \dfrac{ (x^2+x+1)-ln(x)\cdot (2x+1)}{x\cdot (x^2+x+1)^2} }$

Assim concluirmos que a derivada da função $Y=\dfrac{ln(x)}{x^2+x+1}$ é

$\large\text{ \boxed{\dfrac{ (x^2+x+1)-ln(x)\cdot (2x+1)}{x\cdot (x^2+x+1)^2} } }$

Aprenda mais sobre derivadas aqui:

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