Question

Lista de exercícios - VIII UFRN


Professor David Zavaleta Villanueva


1)


Encontre as derivadas das funções:


A) $Y=5x^3+\sqrt{3x^2}$

Answer 1

Usando as propriedades das derivadas podemos concluir que a derivada da função  $Y=5x^3+ \sqrt{3x^2 }$ é

$\large\text{ \boxed{\boxed{15x^2+\dfrac{3x}{\sqrt{3x^2} }}} }$

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos que derivar a seguinte função

$Y=5x^3+ \sqrt{3x^2 }$

Para derivarmos essa função precisamos lembrar de algumas regras da derivação

• Derivada da soma

    $\boxed{\dfrac{d}{dx} \left(F(x)+G(x)\right)=\dfrac{df}{dx} \left(F(x)\right)+\dfrac{dg}{dx} \left(G(x)\right)}$

• Derivada de uma constante elevada a uma variável qualquer

    $\boxed{\dfrac{d}{dx}\left(X^N\right)=N\cdot X^{N-1}}$

• Derivada de uma raiz quadrada

    $\boxed{\dfrac{d}{dx}\left(\sqrt{X} \right)=\frac{1}{2\cdot \sqrt{X} } }$

• Regra da cadeia

      $\boxed{\left(F((g(x)\right)'=f'(g(x))\cdot g'(x)}$

Antes de começarmos, perceba que teremos que utilizar a regra da cadeia nessa derivada. Pois, $\sqrt{3x^2}$ é uma função composta, então vamos separar essa deriva em duas  e resolver cada uma separadamente

$\large\dfrac{dy}{dx} \left(5x^3+ \sqrt{3x^2 }\right)$

$\large\dfrac{dy}{dx}\left(5x^3\right)+ \dfrac{dy}{dx}\left(\sqrt{3x^2} \right)$

Vamos resolver primeiro $\large\dfrac{dy}{dx}\left(5x^3\right)$  e depois resolver $\large\dfrac{dy}{dx}\left(\sqrt{3x^2} \right)$ para facilitar a compreensão do problema

$\large\dfrac{dy}{dx}\left(5x^3\right)\Rightarrow 5\cdot 3\cdot x^{3-1}\Rightarrow \boxed{15x^2}$

Agora resolver a outra derivada.

a derivada $\large\dfrac{dy}{dx}\left(\sqrt{3x^2} \right)$ é um pouco mais complexa pois teremos que usar a regra da cadeia. Vamos chamar $3x^2$ de U e em seguida derivaremos a função sendo a variável  U e depois substituiremos U por $3x^2$ e por Fim multiplicaremos pela derivada de $3x^2$

$\large\text{ \dfrac{dy}{dx}\left(\sqrt{3x^2} \right) \Rightarrow \dfrac{dy}{du}\left(\sqrt{U} \right)\cdot \dfrac{du}{dx}(3x^2) \Rightarrow \dfrac{1}{2\sqrt{U} }\cdot 6x }$

$\large\text{ \dfrac{6x}{2\sqrt{U} }\Rightarrow \dfrac{3x}{\sqrt{U} } \Rightarrow \boxed{\dfrac{3x}{\sqrt{3x^2} } } }$

Agora que derivamos as duas derivadas basta somarmos elas

$\large\text{ \boxed{ 15x^2+ \dfrac{3x}{\sqrt{3x^2} } } }$

Então podemos concluir que a derivada da função $Y=5x^3+ \sqrt{3x^2 }$ é

$\large\text{ \boxed{ 15x^2+ \dfrac{3x}{\sqrt{3x^2} } } }$

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