Matemática, perguntado por guinas043, 5 meses atrás

Lista de exercícios V sobre limite de funções
David Zavaleta Villanueva UFRN

Calcule o seguinte limite

7)
$\large\text{$\lim_{x\to1}\left(\dfrac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[4]{x} }{x^2-1}\right) $}$

Soluções para a tarefa

Respondido por Sban1

Usando fatoração e produtos notáveis podemos concluir que quando X tende a 1 a função tenderá para

$\large\text{$\boxed{\boxed{\dfrac{1}{24} }} $}$

Mas, como chegamos nesse resultado?

temos o seguinte limite

$\large\text{$\lim _{x\to 1}\left(\dfrac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[4]{x} }{x^{2}-1}\right)\:\:$}$

Perceba que se substituirmos X por 1 vai gerar uma indeterminação

$\large\text{$\lim _{x\to 1}\left(\dfrac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[4]{x} }{x^{2}-1}\right)\Rightarrow\left(\dfrac{\sqrt[3]{1}-\sqrt[4]{1} }{1^{2}-1}\right)\Rightarrow \dfrac{1-1}{1-1}\Rightarrow \dfrac{0}{0} $}$

Então temos que usar alguma propriedade matemática para não cairmos nessa indeterminação

Então vamos analisar nosso limite e ver o que podemo fazer

$\large\text{$\lim _{x\to 1}\left(\dfrac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[4]{x} }{x^{2}-1}\right)\:\:$}$

Veja que no denominador existe a diferença de dois quadrados, que é um produto notável bastante conhecido

$\boxed{(A^2-B^2)=(A-B)\cdot (A+B)}$

Então podemos reescrever nosso limite da seguinte forma

$\large\text{$\lim _{x\to 1}\left(\dfrac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[4]{x} }{x^{2}-1}\right)\Rightarrow \boxed{\lim _{x\to 1}\left(\dfrac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[4]{x} }{(x-1)\cdot (x+1)}\right)}$}$

Agora no numerador podemos colocar o termo $\sqrt[4]{x}$ em evidencia. Vamos fazer separadamente

$\large\text{$(\sqrt[3]{x}- \sqrt[4]{x} )\Rightarrow \sqrt[4]{x} \cdot (\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[4]{x}}-1)$}$

Temos uma divisão de fração e podemos reescreve-la da seguinte forma

$\large\text{$\dfrac{\sqrt[3]{x} }{\sqrt[4]{x} }\Rightarrow \dfrac{x^{\frac{1}{3} }}{x^{\frac{1}{4} }}\Rightarrow x^{\frac{1}{3}-\frac{1}{4} }\Rightarrow x^{\frac{1}{12}}\Rightarrow \boxed{\sqrt[12]{x}} $}$

Então podemos reescrever no numerador assim

$\large\text{$\lim _{x\to 1}\left(\dfrac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[4]{x} }{(x-1)\cdot (x+1)\right)}\Rightarrow \boxed{\lim _{x\to 1}\left(\dfrac{\sqrt[4]{x}\cdot (\sqrt[12]{x} -1 ) }{(x-1)\cdot (x+1)\right)}}$}$

Agora é interessante lembramos do seguinte produtos notáveis

$(A^2-1)=(A-1)\cdot (A+1)\\(A^3-1)=(A-1)\cdot (A^2+A+1)\\(A^4-1)=(A-1)\cdot (A^3+A^2+A+1)\\\\(A^N-1)=(A-1)\cdot (A^{N-1}+A^{N-2}...~A^2+A+1)$

Então podemos usar essa propriedade para eliminar a raiz da expressão $(\sqrt[12]{x}-1)$ para assim podemos simplicar com o denominador e então não teremos mais indeterminação

Parai sso vamos multiplicar a função por

$(\sqrt[12]{x^{11}}+ \sqrt[12]{x^{10}}+.~.~.~+\sqrt[12]{x^2}+ \sqrt[12]{x}+1)$ em cima e embaixo para não alterar a função original

$\large\text{$\lim _{x\to 1}\left(\dfrac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[4]{x} }{(x-1)\cdot (x+1)\right)}\Rightarrow$}$

$\large\text{$\lim _{x\to 1}\left(\dfrac{\sqrt[4]{x}\cdot (\sqrt[12]{x} -1 ) }{(x-1)\cdot (x+1)\right)}\cdot \frac{(\sqrt[12]{x^{11}}+ \sqrt[12]{x^{10}}+.~.~.~+\sqrt[12]{x^2}+ \sqrt[12]{x}+1)}{(\sqrt[12]{x^{11}}+ \sqrt[12]{x^{10}}+.~.~.~+\sqrt[12]{x^2}+ \sqrt[12]{x}+1)} \Rightarrow$}$

$\large\text{$\lim _{x\to 1}\left(\dfrac{\sqrt[4]{x}\cdot ((\sqrt[12]{x})^{12} -(1)^{12} ) }{(x-1)\cdot (x+1)\cdot (\sqrt[12]{x^{11}}+ \sqrt[12]{x^{10}}+.~.~.~+ \sqrt[12]{x}+1)\right)}\rightarrow$}$

$\large\text{$\lim _{x\to 1}\left(\dfrac{\sqrt[4]{x}\cdot (x-1) }{(x-1)\cdot (x+1)\cdot (\sqrt[12]{x^{11}}+ \sqrt[12]{x^{10}}+.~.~.~+ \sqrt[12]{x}+1)\right)}\Rightarrow $}$

$\large\text{$\lim _{x\to 1}\left(\dfrac{\sqrt[4]{x} }{ (x+1)\cdot (\sqrt[12]{x^{11}}+ \sqrt[12]{x^{10}}+.~.~.~+ \sqrt[12]{x}+1)\right)}\Rightarrow $}$

$\left(\dfrac{\sqrt[4]{1} }{ (1+1)\cdot (\sqrt[12]{1^{11}}+ \sqrt[12]{1^{10}}+.~.~.~+ \sqrt[12]{1}+1)\right)}\Rightarrow \dfrac{1}{2\cdot 12} \Rightarrow \boxed{\frac{1}{24}}$