Matemática, perguntado por guinas043, 3 meses atrás

Lista de exercícios V sobre limite de funções

David Zavaleta Villanueva UFRN


Calcule o seguinte limite


6)



\large\text{$\lim _{x\to 8}\left(\dfrac{\sqrt{9+2x}-5}{\:\sqrt[3]{x}-2}\right)$}

Soluções para a tarefa

Respondido por Sban1
2

Usando produtos notáveis e fatoração podemos concluir que quando X tende a 8 a função tenderá para

\large\text{$\boxed{\boxed{\frac{12}{5} }}$}

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos o seguinte limite

\large\text{$\lim _{x\to 8}\left(\frac{\sqrt{9+2x}-5}{\sqrt[3]{x}-2}\right)$}

Perceba que se substituirmos X por 8 a função tenderá para um indeterminação

\large\text{$\lim _{x\to 8}\left(\frac{\sqrt{9+2x}-5}{\sqrt[3]{x}-2}\right)\Rightarrow \lim _{x\to 8}\left(\frac{\sqrt{9+2\cdot 8}-5}{\sqrt[3]{8}-2}\right)\Rightarrow\frac{\sqrt{25}-5 }{8-8} \Rightarrow \dfrac{0}{0}? $}

Então vamos usar propriedades matemáticas para fazer esse limite não tender a uma indeterminação

Usaremos produtos notáveis, da diferença de dois quadrados e a diferença de dois cubos

  • \boxed{(A^2-B^2)=(A+B)\cdot (A-B)}

  • \boxed{(A^3-B^3)=(A-B)\cdot(A^2+AB+B^2)}

Vamos começar com a diferença de dois quadrados no numerador, vamos reescrever a expressão (\sqrt{9+2x}-5) de (A-B) e multiplicar toda a função em cima e embaixo  por (A+B) para termos a diferença de dois quadrados

Usaremos isso para eliminar as raízes e assim simplicar a expressão que causa indeterminação

\large\text{$\lim _{x\to 8}\left(\frac{\sqrt{9+2x}-5}{\sqrt[3]{x}-2}\right)\Rightarrow \lim _{x\to 8}\left(\frac{\sqrt{9+2x}-5}{\sqrt[3]{x}-2}\right)\cdot \frac{\sqrt{9+2x}+5 }{\sqrt{9+2x}+5} \Rightarrow $}\\\\\\\large\text{$\lim_{x\to8}\frac{\sqrt{9+2x}^2-5^2 }{(\sqrt[3]{x}-2)\cdot (\sqrt{9+2x} +5) }\Rightarrow \lim_{x\to8}\frac{9+2x-25}{(\sqrt[3]{x}-2)\cdot (\sqrt{9+2x} +5)} \Rightarrow$ }

\large\text{$\lim_{x\to8}\frac{2x-16}{(\sqrt[3]{x}-2)\cdot (\sqrt{9+2x} +5)} \Rightarrow\lim_{x\to8}\frac{2\cdot (x-8)}{(\sqrt[3]{x}-2)\cdot (\sqrt{9+2x} +5)} $ }

Agora vamos usar a diferença de cubos no denominador

\large\text{$\lim_{x\to8}\frac{2\cdot (x-8)}{(\sqrt[3]{x}-2)\cdot (\sqrt{9+2x} +5)}\Rightarrow \lim_{x\to8}\frac{2\cdot (x-8)}{(\sqrt[3]{x}-2)\cdot (\sqrt{9+2x} +5)}\cdot \frac{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x} +4 }{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x} +4}\Rightarrow  $ }\\\\\\\large\text{$ \lim_{x\to8}\frac{2\cdot (x-8)\cdot  (\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4  )}{(\left(\sqrt[3]{x}\right)^3-(2)^3)\cdot (\sqrt{9+2x} +5)} \Rightarrow $}

\large\text{$\lim_{x\to8}\frac{2\cdot (x-8)\cdot  (\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4  )}{(x-8)\cdot (\sqrt{9+2x} +5)}$}

Veja que temos (x-8) em cima e embaixo então podemos simplifica-los entre si e depois não haverá mais indeterminação. Então, podemos substituir X pro 8

\large\text{$\lim_{x\to8}\frac{2\cdot (x-8)\cdot  (\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4  )}{(x-8)\cdot (\sqrt{9+2x} +5)}\Rightarrow\lim_{x\to8}\frac{2\cdot   (\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4  )}{(\sqrt{9+2x} +5)}\Rightarrow \frac{2\cdot   (\sqrt[3]{8^2}+2\sqrt[3]{8}+4  )}{(\sqrt{9+2\cdot 8} +5)}  $}

\large\text{$\frac{2\cdot   (\sqrt[3]{64}+2\sqrt[3]{8}+4  )}{(\sqrt{25} +5)}\Rightarrow \frac{2\cdot   (4+2\cdot2+4  )}{(5 +5)}\Rightarrow\frac{24}{10}\Rightarrow \boxed{\dfrac{12}{5} }  $}

Ou seja quando X tende a 8 a função tenderá para \dfrac{12}{5}

Aprenda mais sobre limites pelos links a seguir:

brainly.com.br/tarefa/53996713

brainly.com.br/tarefa/53977986

brainly.com.br/tarefa/53959465

brainly.com.br/tarefa/53941742

brainly.com.br/tarefa/3838426

brainly.com.br/tarefa/3852287

brainly.com.br/tarefa/53937188

brainly.com.br/tarefa/53966455

brainly.com.br/tarefa/53967840    

brainly.com.br/tarefa/53975075

brainly.com.br/tarefa/53996434

brainly.com.br/tarefa/53998373

Anexos:
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