Question

Lista de exercícios V sobre limite de funções
David Zavaleta Villanueva UFRN

Calcule o seguinte limite

5)

$\large\text{ \lim{x\to1}\left(\dfrac{3}{1-\sqrt{x} }-\dfrac{2}{1-\sqrt[3]{x} } \right) }$

Answer 1

Usando a técnica da substituição de variável no limite, junto com produtos notáveis e Podemos concluir que X quando tende a 1 a função tenderá para

$\large\text{ \boxed{\boxed{\dfrac{1}{2} }} }$

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos o seguinte limite

$\large\text{ \lim_{x\to1}\left(\dfrac{3}{\:1-\sqrt{x}}-\dfrac{2}{1-\sqrt[3]{x}}\right) }$

Perceba que substituirmos X por 1 teremos uma indeterminação

$\large\text{ \lim_{x\to1}\left(\dfrac{3}{\:1-\sqrt{x}}-\dfrac{2}{1-\sqrt[3]{x}}\right)\Rightarrow \lim_{x\to1}\left(\dfrac{3}{\:1-\sqrt{1}}-\dfrac{2}{1-\sqrt[3]{1}}\right)\Rightarrow }$

$\large\left(\dfrac{3}{\:1-1}-\dfrac{2}{1-1}\right)\Rightarrow \left(\dfrac{3}{0}-\dfrac{2}{0}\right)?$

Então perceba que temos que usar algumas propriedade matemática para não haver indeterminação

Se usarmos produtos notáveis essa questão se tornará muito trabalhosa. existe um método bem mais simples para resolver o problema  o  método de limites por substituição

• Limites por substituição é uma técnica para resolver limites que consiste em trocar a variável por outra de modo que facilite o nosso calculo  

Com isso em mente vamos olhar o nosso limite

$\large\text{ \lim_{x\to1}\left(\dfrac{3}{\:1-\sqrt{x}}-\dfrac{2}{1-\sqrt[3]{x}}\right) }$

Veja que se tivéssemos  no lugar de X um variável  $Y^6$ a questão ia ser muito mais fácil,

Então vamos dizer que

$X=Y^6$ e onde tiver X na questão vamos substituir por $Y^6$

Mas, antes temos que substituir a tendência da função   pois o limite não pode tender mais a X tem que tender a Y

$X=Y^6\\\\1=Y^6\\\\Y=\sqrt[6]{1} \\\\Y=1$

Então nosso limite também vai tender a 1 quando a variavel for Y

$\large\text{ \lim_{x\to1}\left(\dfrac{3}{\:1-\sqrt{x}}-\dfrac{2}{1-\sqrt[3]{x}}\right)\Rightarrow \lim_{y\to1}\left(\frac{3}{\:1-\sqrt{y^6}}-\frac{2}{1-\sqrt[3]{y^6}}\right)\Rightarrow }$

$\large\lim_{y\to1}\left(\dfrac{3}{\:1-y^3}-\dfrac{2}{1-y^2}\right)\Rightarrow$

Perceba que temos uma diferença de cubos e de quadrados nos denominadores, produtos notáveis bastante conhecidos

• Diferença de cubos

       $\boxed{(A^3-B^3)=(A-B)\cdot (A^2+AB+B^2)}$

• Diferença de quadrados

       $\boxed{(A^2-B^2)=(A-B)\cdot(A^2+AB+B^2)}$

Em $(1-y^3)$ temos :

$\boxed{(1-y^3)=(1-y)\cdot (1+y+y^2)}$

Em $(1-y^2)$ temos:

$\boxed{(1-y^2)=(1-y)\cdot (1+y)}$

Então vamos substituir no  limite

$\large\lim_{y\to1}\left(\frac{3}{\:1-y^3}-\frac{2}{1-y^2}\right)\Rightarrow \lim_{y\to1}\left(\frac{3}{(1-y)\cdot (1+y+y^2)}-\frac{2}{(1-y)\cdot (1+y)}\right)\Rightarrow$

Agora vamos colocar o  $(1-y)$ em evidencia  e eliminar  a indeterminação

$\large\lim_{y\to1}\left(\frac{3}{(1-y)\cdot (1+y+y^2)}-\frac{2}{(1-y)\cdot (1+y)}\right)\Rightarrow$

$\large\lim_{y\to1}\left(\frac{1}{(1-y)}\right) \cdot \left(\frac{3}{ (1+y+y^2)}-\frac{2}{(1+y)}\right)\Rightarrow$

$\large\lim_{y\to1}\left(\frac{1}{(1-y)}\right) \cdot \left(\frac{3+3y-2-2y-2y^2}{ (1+y+y^2)}\right)\Rightarrow\lim_{y\to1}\left(\frac{1}{(1-y)}\right) \cdot \frac{1+y-2y^2}{(1+y+y^2)\cdot (1+y)}$

Fatorando $-2y^2+y+1$ temos  $\quad \left(2y+1\right)\left(-y+1\right)$, perceba que podemos eliminar (1-y) que temos no denominador e no numerador e assim acabar com a indeterminação

$\large\lim_{y\to1}\left(\frac{1}{(1-y)}\right) \cdot \frac{\quad \left(2y+1\right)\left(-y+1\right)}{(1+y+y^2)\cdot (1+y)}\Rightarrow \lim_{y\to1}\left(\frac{2y+1}{(1+y+y^2)\cdot (1+y)}\right)\Rightarrow$

$\lim_{y\to1}\left(\dfrac{2\cdot1+1}{(1+1+1^2)\cdot (1+1)}\right)\Rightarrow \dfrac{3}{6} \Rightarrow\boxed{\dfrac{1}{2} }$

Assim podemos concluir que quando a variável tende a 1 a função tenderá para $\dfrac{1}{2}$