Matemática, perguntado por guinas043, 5 meses atrás

Lista de exercícios V sobre limite de funções
David Zavaleta Villanueva UFRN

Calcule o seguinte limite

3)

$\large\text{$\lim_{x\to1}\left(\dfrac{x^2-1}{\sqrt[3]{x}-1 } \right)$}$

Soluções para a tarefa

Respondido por Sban1

Usando os produtos notáveis podemos concluir que o limite dessa função quando X tende a 1 é

$\large\text{$\boxed{\boxed{6}}$}$

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos o seguinte limite

$\large\text{$\lim_{x\to1}\left(\dfrac{x^2-1}{\sqrt[3]{x}-1 } \right)$}$

Perceba que quando substituirmos X por 1 a função tende a uma indeterminação.

$\large\text{$\lim_{x\to1}\left(\dfrac{x^2-1}{\sqrt[3]{x}-1 } \right)\Rightarrow \dfrac{1^1-1}{\sqrt[3]{1} -1}\Rightarrow \dfrac{1-1}{1-1} \Rightarrow \dfrac{0}{0} ? $}$

Para resolver esse problema temos que usar alguma propriedade matematica para eliminar a indeterminação. Perceba que a expressão que causa indeterminação é $(x-1)$ , você pode não estar vendo ela mas ela está lá o que vamos fazer e fatorar as expressão pra fazer ela aparecer

No numerador veja que temos a diferença de dois quadrados

$\boxed{(A^2+B^2)=(A+B)\cdot (A-B)}$

Lembre-se que 1 é a mesma coisa de $1^2$ então podemos reescrever nosso limite assim

$\large\text{$\lim_{x\to1}\left(\dfrac{x^2-1}{\sqrt[3]{x}-1 } \right)\Rightarrow\boxed{\lim_{x\to1}\left(\dfrac{(x+1)\cdot (x-1)}{\sqrt[3]{x}-1 } \right)}$}$

Perceba que apareceu $(X-1)$ no numerador como havíamos previsto agora vamos fazer ele aparecer no denominador

Paira isso usamos a diferença de dois cubos

$\boxed{(A^3+B^3)=(A-B)\cdot (A^2+AB+B)}$

Vamos chamar $(\sqrt[3]{x}-1)$ de $(A-B)$ então para termos a diferença de dois cubos basta multiplicarmos toda função por $(A^2+AB+B^2)$ em cima e embaixo para não alterar a função

$(A^2+AB+B^2)\Rightarrow (\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}\cdot 1 + 1^2 )$

Com isso em mente vamos para o limite

$\large\text{$\Rightarrow\lim_{x\to1}\left(\frac{(x+1)\cdot (x-1)}{\sqrt[3]{x}-1 } \right)\Rightarrow\lim_{x\to1}\left(\frac{(x+1)\cdot (x-1)}{\sqrt[3]{x}-1 } \right) \cdot \left(\frac{\sqrt[3]{x^2}+ \sqrt[3]{x}\cdot 1+1^2 }{\sqrt[3]{x^2}+ \sqrt[3]{x}\cdot 1+1^2 }\right) $}$

$\large\text{$\lim_{x\to1}\left(\frac{(x+1)\cdot (x-1)\cdot (\sqrt[3]{x^2}+ \sqrt[3]{x}\cdot 1+1^2)}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^3-(1)^3 } \right)\Rightarrow $}$

$\lim_{x\to1}\left(\dfrac{(x+1)\cdot (x-1)\cdot (\sqrt[3]{x^2}+ \sqrt[3]{x}\cdot 1+1^2)}{x-1 } \right)\Rightarrow$

$\lim_{x\to1}\left((x+1)\cdot (\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}\cdot 1 +1^2 ) \right)\Rightarrow (1+1)\cdot ( \sqrt[3]{1^2}+\sqrt[3]{1}\cdot 1 +1^2)\Rightarrow\\\\(2)\cdot (3)\Rightarrow \boxed{6}$