Matemática, perguntado por guinas043, 5 meses atrás

Lista de exercícios V sobre limite de funções
David Zavaleta Villanueva UFRN

Calcule o seguinte limite

2)

$\large\text{$\lim_{x\to 2}\left(\dfrac{x-2}{\sqrt{x} -\sqrt{2} }\right)$}$

Soluções para a tarefa

Respondido por Sban1

Usando o conceito de produtos notáveis podemos concluir que quando X tende a 2 a função tenderá para

$\Large\text{$\boxed{\boxed{2\sqrt{2}}} $}$

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos o seguinte limite

$\large\text{$\lim_{x\to2}\left(\dfrac{x-2}{\sqrt{x} -\sqrt{2} } \right)$}$

Perceba que quando substituirmos X por 2 a função tende a uma indeterminação

$\large\text{$\lim_{x\to2}\left(\dfrac{x-2}{\sqrt{x} -\sqrt{2} } \right)\Rightarrow \dfrac{2-2}{\sqrt{2} -\sqrt{2} }\Rightarrow \dfrac{0}{0}? $}$

Para resolver essa questão temos que usar alguma propriedade matematica para eliminar a indeterminação. e essa propriedade se chama produtos notaveis

Vamos usar a diferença de dois quadrados

$\boxed{A^2-B^2=(A+B)\cdot (A-B)}$

Vamos chamar $\left(\sqrt{x}-\sqrt{2} \right )$ de $(A-B)$ e multiplicar toda a função por $(A+B)$ para assim temos a diferença de dois quadrados, note que teremos que multiplicar a função em cima e embaixo para não alterarmos a função original

$(A+B)\Rightarrow(\sqrt{x} +\sqrt{2} )$

Com isso em mente vamos resolver o limite

$\large\text{$\lim_{x\to2}\left(\dfrac{x-2}{\sqrt{x} -\sqrt{2} } \right)\Rightarrow\lim_{x\to2}\left(\dfrac{x-2}{\sqrt{x} -\sqrt{2} } \right)\cdot \dfrac{\sqrt{x} +\sqrt{2} }{\sqrt{x} +\sqrt{2} } \Rightarrow$}$

$\lim_{x\to2}\left(\dfrac{(x-2)\cdot \left(\sqrt{x}+\sqrt{2}\right) }{\left(\sqrt{x}\right)^2 -\left(\sqrt{2}\right)^2 } \right)\Rightarrow \lim_{x\to2}\left(\dfrac{(x-2)\cdot \left(\sqrt{x}+\sqrt{2}\right) }{(x -2)} \right)\Rightarrow$

Perceba que temos a expressão $(x-2)$ em cima e embaixo então podemos simplificar e assim eliminaremos a expressão que causa indeterminação então podemos substituir X por 2 e ver qual o valor a função tende.

$\lim_{x\to2}\left(\dfrac{(x-2)\cdot \left(\sqrt{x}+\sqrt{2}\right) }{(x -2)} \right)\Rightarrow \lim_{x\to2}\left(\sqrt{x} +\sqrt{2} \right)\Rightarrow \sqrt{2} +\sqrt{2} \Rightarrow \boxed{(2\cdot\sqrt{2} )}$

$\large\text{$\lim_{x\to2}\left(\dfrac{(x-2)\cdot \left(\sqrt{x}+\sqrt{2}\right) }{(x -2)} \right)\Rightarrow \lim_{x\to2}\left(\sqrt{x} +\sqrt{2} \right)\Rightarrow $}$