Matemática, perguntado por guinas043, 6 meses atrás

Lista de exercícios V

Professor David Zavaleta Villanueva

Limites laterais

8)

$\Large\text{$\lim_{x\to0\left(\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x} }{\sqrt[3]{x+1} -\sqrt[3]{1-x} } \right)}$}$

Soluções para a tarefa

Respondido por Sban1

Usando produtos notáveis. Podemos concluir que quando X tende a 0 a função tenderá para

$\boxed{\boxed{\dfrac{3}{2} }}$

Mas, como chegamos nessa resposta?

Lembre-se que para o melhor experiência acesse pelo computador

Temos o seguinte limite

$\large\text{$\lim _{x\to 0}\left(\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}}{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{1-x}}\right)$}$

Perceba que se substituirmos X por 0 a função tenderá a uma indeterminação

$\large\text{$\lim _{x\to 0}\left(\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}}{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{1-x}}\right)\Rightarrow \left(\frac{\sqrt{0+1}-\sqrt{1-0}}{\sqrt[3]{0+1}-\sqrt[3]{1-0}}\right)\Rightarrow $}\\\\\\\large\text{$\left(\frac{\sqrt{1}-\sqrt{1}}{\sqrt[3]{1}-\sqrt[3]{1}}\right)\Rightarrow\dfrac{0}{0}? $}$

Então para evitar a indeterminação precisamos usar alguma propriedade matemática

Podemos usar produtos notáveis, para acabar com as raízes no numerador e no denominador

Diferença de dois quadrados

$\boxed{(A^2-B^2)=(A-B)\cdot (A+B) }$

Diferença de dois cubos

$\boxed{(A^3-B^3)=(A-B)\cdot (A^2+AB+B^2)}$

No numerador podemos usar a diferença de dois cubos pois assim as raízes seriam simplificadas

Vamos chamar $\left(\sqrt{x+1} -\sqrt{1-x}\right)$ de $(A-B)$ então para temos a diferença de dois quadrados vamos multiplicar toda a função por $(A+B)$

em cima e embaixo da função para não alterar a função original

$(A+B)\Rightarrow (\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x} )$

$\large\text{$\lim _{x\to 0}\left(\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}}{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{1-x}}\right)\Rightarrow \lim _{x\to 0}\left(\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}}{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{1-x}}\right)\cdot \frac{(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x} )}{(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x} )} \Rightarrow$}$

$\large\text{$\lim _{x\to 0}\left(\frac{(\sqrt{x+1})^2-(\sqrt{1-x})^2}{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{1-x}\cdot (\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x} )}\right)\Rightarrow\lim _{x\to 0}\left(\frac{x+1-(1-x)}{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{1-x}\cdot (\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x} )}\right)\Rightarrow$}$

$\large\text{$\boxed{\lim _{x\to 0}\left(\frac{2x}{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{1-x}\cdot (\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x} )}\right)}$}$

Agora vamos aplicar diferença de cubos para simplicar as raízes do denominador

Vamos chamar $\left(\sqrt[3]{x+1} -\sqrt[3]{1-x}\right)$ de $(A-B)$ então para temos a diferença de dois quadrados vamos multiplicar toda a função por $(A^2+AB+B^2)$

em cima e embaixo da função para não alterar a função original

$(A^2+AB+B^2)\Rightarrow(\sqrt[3]{x+1})^2 +\sqrt[3]{x+1}\cdot \sqrt[3]{1-x} +\sqrt[3]{1-x}^2$

$\large\text{$\lim _{x\to 0}\left(\dfrac{2x}{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{1-x}\cdot (\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x} )}\right)\Rightarrow$}$

$\large\textt${\lim _{x\to 0}\left(\frac{2x}{(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{1-x})\cdot (\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x} )}\right)\cdot \frac{(\sqrt[3]{x+1})^2 +\sqrt[3]{x+1}\cdot \sqrt[3]{1-x} +\sqrt[3]{1-x}^2}{(\sqrt[3]{x+1})^2 +\sqrt[3]{x+1}\cdot \sqrt[3]{1-x} +\sqrt[3]{1-x}^2} \Rightarrow$}$

$\large\textt${\lim _{x\to 0}\left(\dfrac{(2x)\cdot (\sqrt[3]{x+1})^2 +\sqrt[3]{x+1}\cdot \sqrt[3]{1-x} +\sqrt[3]{1-x}^2}{x+1-(1-x)\cdot (\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x} )}\right)$}$

$\large\textt${\lim _{x\to 0}\left(\dfrac{(2x)\cdot (\sqrt[3]{x+1})^2 +\sqrt[3]{x+1}\cdot \sqrt[3]{1-x} +\sqrt[3]{1-x}^2}{2x\cdot (\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x} )}\right)\Rightarrow$}$

$\large\textt${\lim _{x\to 0}\left(\dfrac{(\sqrt[3]{x+1})^2 +\sqrt[3]{x+1}\cdot \sqrt[3]{1-x} +\sqrt[3]{1-x}^2}{(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x} )}\right)\Rightarrow$}$

Agora podemos substituir X por 0 pois não há mais termo que cause indeterminação

$\large\textt${\lim _{x\to 0}\left(\dfrac{(\sqrt[3]{x+1})^2 +\sqrt[3]{x+1}\cdot \sqrt[3]{1-x} +\sqrt[3]{1-x}^2}{(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x} )}\right)\Rightarrow$}\\\\\\\large\textt${\left(\frac{(\sqrt[3]{0+1})^2 +\sqrt[3]{0+1}\cdot \sqrt[3]{1-0} +\sqrt[3]{1-0}^2}{(\sqrt{0+1}+\sqrt{1-0} )}\right)\Rightarrow\left(\frac{(\sqrt[3]{1})^2 +\sqrt[3]{1}\cdot \sqrt[3]{1} +\sqrt[3]{1}^2}{(\sqrt{1}+\sqrt{1} )}\right)\Rightarrow$}$