Question

Lista de Exercícios- Limites trigonométricos
Calcule o limite abaixo.

1B)

$\large\lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen(5x)}{Sen(x)} \right)$

Answer 1

Usando o  limite fundamental da trigonometria podemos concluir que quando X tende a 0 a função tenderá para

$\large\text{ \boxed{\boxed{5}} }$

• Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos o seguinte limite trigonométrico

$\large\lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen(5x)}{Sen(x)} \right)$

Perceba que se substituirmos X por 0 a função tenderá a uma indeterminação

$\large\lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen(5x)}{Sen(x)} \right)\Rightarrow \lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen(5\cdot 0)}{Sen(0)} \right)\Rightarrow\dfrac{Sen(0)}{Sen(0)} \Rightarrow \dfrac{0}{0}$

• (Lembre-se que $\boxed{Sen(0)=0}$)

Então temos que usar alguma propriedade matemática para resolver essa indeterminação

Para resolver esse limite é bastante simples basta lembrarmos do limite fundamental da trigonometria

$\large\text{ \boxed{\lim_{\theta\to0}\dfrac{Sen(\theta)}{\theta}=1 } }$

Com isso em mente vamos responder a questão

$\large\lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen(5x)}{Sen(x)} \right)$

Perceba que temos Sen(5x) no numerador e no denominador temos Sen(x) Podemos multiplicar o numerador por 5x em cima e embaixo e multiplicar  e no denominador por X em cima e embaixo

$\large\text{ \lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen(5x)}{Sen(x)} \right)\Rightarrow \lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen(5x)\cdot \dfrac{5x}{5x} }{Sen(x)\cdot \dfrac{x}{x} } \right)\Rightarrow }$

$\large\text{\lim_{x\to0}\left(\dfrac{5x\cdot \dfrac{Sen(5x) }{5x} }{x\cdot \dfrac{Sen(x)}{x} } \right)\Rightarrow\lim_{x\to0}\left(\dfrac{5x\cdot 1 }{x\cdot 1 } \right)\Rightarrow\lim_{x\to0}\left(\dfrac{5x}{x}\right) \Rightarrow }$

$\large\text{\lim_{x\to0}\left(\dfrac{5}{1}\right) \Rightarrow\lim_{x\to0}(5)\Rightarrow \boxed{5} }$

Assim podemos concluir que quando X tendo a 0 a função tenderá a 5

Vou anexar um imagem mostrando o gráfico da função, perceba que quando X tende a 0 a função tenderá a 5

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