Question

Lista de Exercícios- Limites trigonométricos

Calcule o limite abaixo.

1A)

$\large\lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen(3x)}{x}\right)$

Answer 1

Usando o limite fundamental da trigonometria podemos concluir que quando X tende a a função tenderá para

$\Large\text{\boxed{\boxed{3}}}$

• Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos o seguinte limite trigonométrico

$\large\lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen(3x)}{x} \right)$

Perceba que se substituirmos X por 0 a função tenderá a uma indeterminação

$\large\lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen(3x)}{x} \right)\Rightarrow \left(\dfrac{Sen(3\cdot 0)}{0} \right)\Rightarrow\dfrac{Sen(0)}{0} \Rightarrow \dfrac{0}{0}$

• (Lembre-se que $\boxed{Sen(0)=0}$)

Então temos que usar alguma propriedade matemática para resolver essa indeterminação

Para resolver esse limite é bastante simples basta lembrarmos do limite fundamental da trigonometria

$\large\text{ \boxed{\lim_{\theta\to0}\dfrac{Sen(\theta)}{\theta}=1 } }$

Com isso em mente vamos responder a questão

$\large\lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen(3x)}{x} \right)$

imite fundamental da trigonometria  então vamos fazer aparecer 3x no denominador multiplicando o denominador por 3, mas também para não alterar a função original multiplicaremos embaixo e encima

$\large\lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen(3x)}{x} \right)\Rightarrow \lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen(3x)}{x} \right)\cdot \dfrac{3}{3}\Rightarrow$

$\large\lim_{x\to0}\left(\dfrac{3\cdot Sen(3x)}{3x} \right)\Rightarrow 3\cdot \lim_{x\to0}\left(\dfrac{Sen(3x)}{3x}\right)$

$\large 3\cdot \lim_{\theta\to0}\left(\dfrac{Sen(\theta)}{\theta}\right)$

Agora perceba que o problema já acabou pois $\large\text{ \boxed{\lim_{\theta\to0}\dfrac{Sen(\theta)}{\theta}=1 } }$ é o nosso limite fundamental da trigonometria lembrando que consideramos nessa questão $\boxed{3x=\theta}$. Portanto nosso problema fica

$\large 3\cdot \lim_{\theta\to0}\left(\dfrac{Sen(\theta)}{\theta}\right)\Rightarrow 3\cdot 1\Rightarrow \boxed{3}$

Assim concluímos que quando X tende a 0 a função tenderá para 3

Vou anexar uma imagem mostrando o gráfico da função $\largeF(x)=\left(\dfrac{Sen(3x)}{x} \right)$ Perceba que quando X tende a 0 o Y tenderá a 3

Aprenda mais sobre limites trigonométricos  aqui:.

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