Question

Lista de Exercícios- Limites contínuos
Calcule o limite da função a seguir

1K)

$\Large\text{ \lim{x\to t\left(\frac{x(t-1)-t(x-1)}{(x-t)} \right)} }$

Answer 1

Usando propriedade distributiva e colocando o termo comum em evidencia podemos concluir que quanto X tende a T a função tende a

$\large\text{\boxed{\boxed{-1}}}$

Temos o seguinte limite

$\Large\lim_{x\to t}\left(\frac{x\cdot(t-1)-t\cdot(x-1)}{(x-t)} \right)$

Perceba que se a gente substituir X por T acontecerá uma indeterminação  do tipo $\dfrac{0}{0}$

$\large\lim_{x\to t}\left(\frac{x\cdot(t-1)-t\cdot(x-1)}{(x-t)} \right)\Rightarrow \lim_{x\to t}\left(\frac{t\cdot(t-1)-t\cdot(t-1)}{(t-t)} \right)\Rightarrow$

$\large \lim_{x\to t}\left(\frac{t^2-t-t^2+t}{t-t} \right)\Rightarrow \frac{0}{0}?$

Então temos que usar alguma propriedade matemática para fazer essa indeterminação sumir, perceba que o causador dessa indeterminação é  a expressão $(x-t)$ que está presente no denominador.

Então temos que fazer essa a expressão $(x-t)$ aparecer no numerador é pra isso vamos fazer propriedade distributiva no numerador

$x\cdot(t-1)-t\cdot(x-1)\Rightarrow (x\cdot t)+(x\cdot -1)+ (-t\cdot x)+(-t\cdot-1)\Rightarrow$

$xt+(-x)+ (-xt)+t\Rightarrow \boxed{xt-x-xt+t}$

Com isso em mente vamos fazer nosso limite

$\large\text{ \lim_{x\to t}\left(\frac{x\cdot(t-1)-t\cdot(x-1)}{(x-t)} \right)\Rightarrow \lim_{x\to t}\left(\frac{xt-x-xt+t}{(x-t)} \right)\Rightarrow \boxed{\lim_{x\to t}\frac{(-x+t)}{(x-t)} } }$

Perceba que ainda não temos $(x-t)$ no numerador e sim $(-x+t)$ mas se  colocarmos em evidencia o -1 teríamos exatamente $(x-t)$ eliminando assim nossa indeterminação  e assim podemos substituir X por T

$\Large\lim_{x\to t}\frac{(-x+t)}{(x-t)} \Rightarrow \frac{-1\cdot (x-t)}{(x-t)}\Rightarrow \boxed{-1}$

Assim concluirmos que quando X tende a T a função tenderá para -1

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