Question

Lista de Exercícios- Limites contínuos
Calcule o limite da função a seguir

1J)

$\Large\text{ \lim _{x\to 8}\left(\frac{\sqrt{x}-2\sqrt{2}}{\:\sqrt[3]{19+x}-3}\right) }$

Answer 1

Utilizando produtos notáveis podemos concluir que quando X tende a 8 a função tenderá para

$\arge\text{ \boxed{\boxed{\dfrac{27}{4\sqrt{2} } }} }$

Mas, como chegamos nesse resultado ?

Temos o seguinte limite

$\large\text{ \lim _{x\to 8}\left(\frac{\sqrt{x}-2\sqrt{2}}{\:\sqrt[3]{19+x}-3}\right) }$

Se substituirmos X por 8 teremos uma indeterminação do tipo $\dfrac{0}{0}$

$\large\text{ \lim _{x\to 8}\left(\frac{\sqrt{x}-2\sqrt{2}}{\:\sqrt[3]{19+x}-3}\right)\Rightarrow \left(\frac{\sqrt{8}-2\sqrt{2}}{\:\sqrt[3]{19+8}-3}\right)\Rightarrow \frac{2\sqrt{2}- 2\sqrt{2} }{\sqrt[3]{27} -3} \Rightarrow \frac{0}{3-3} \Rightarrow \frac{\\0}{0}? }$

Então temos que usar alguma propriedade matemática para  fazer a indeterminação sumir, perceba que  o que faz a função dar uma indeterminação é a expressão $(X-8)$. a gente pode não ver essa expressão agora mas temos certeza que ela está lá

Para essa expressão aparecer basta fatorarmos essa função, e para fazer isso usamos um velho amigo chamado de produtos notáveis

Vamos começar com o numerador da função $(\sqrt{x} -2\sqrt{2})$, perceba que podemos reescrever essa função sendo $(A-B)$ onde:

$A\Rightarrow \sqrt{x} \\\\B\Rightarrow 2\sqrt{2}$

Sendo assim podemos usar o produto notável da diferença entre dois quadrados

• $\boxed{A^2-B^2=(A+B)\cdot (A-B)}$

Note que para termos isso na nossa função temos que multiplicar  toda a função por $(A+B)$ em cima e embaixo para não alterarmos a função

$(A+B)\Rightarrow \sqrt{x} +2\sqrt{x}$

$\large\text{ \lim _{x\to 8}\left(\frac{\sqrt{x}-2\sqrt{2}}{\:\sqrt[3]{19+x}-3}\right)\Rightarrow \lim _{x\to 8}\left(\frac{\sqrt{x}-2\sqrt{2}}{\:\sqrt[3]{19+x}-3}\right)\cdot\frac{\sqrt{x} +2\sqrt{2} }{\sqrt{x} +2\sqrt{2} } \Rightarrow }$

$\large\text{ \lim _{x\to 8}\left(\frac{\left(\sqrt{x}\right)^2-\left(2\sqrt{2}\right)^2}{\left(\sqrt[3]{19+x}-3\right)\cdot \left(\sqrt{x} +2\sqrt{2} \right)}\right)\Rightarrow \lim _{x\to 8}\left(\frac{ \left(x-8\right)}{\left(\sqrt[3]{19+x}-3\right)\cdot \left(\sqrt{x} +2\sqrt{2} \right)}\right)\Rightarrow }$

Perceba que  a expressão $(X-8)$ apareceu como havíamos previsto. Agora vamos fatorar o denominador  para aparecer o $(X-8)$ e assim conseguirmos simplifica-los entre si, depois disso podemos substituir X por 8 normalmente

Usaremos a diferença de dois cubos

• $\boxed{A^3-B^3=(A-B)\cdot (A^2+AB+B^2)}$

Vamos chamar $\sqrt[3]{19+x}-3$  de  $(A-B)$ onde:

$A\Rightarrow \sqrt[3]{19+x} \\\\B\Rightarrow 3$

 Então para termos a diferença de dois cubos precisamos multiplicar toda a função por $(A^2+AB+B^2)$ em cima e embaixo para não alterar a função original

$(A^2+AB+B^2)\Rightarrow \left(\left(\sqrt[3]{19+x} \right)^2+ \sqrt[3]{19+x}\cdot 3+ 3^2\right)$

Então vamos lá

$\large\text{ \lim _{x\to 8}\left(\frac{ \left(x-8\right)}{\left(\sqrt[3]{19+x}-3\right)\cdot \left(\sqrt{x} +2\sqrt{2} \right)}\right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \lim _{x\to 8}\left(\frac{ \left(x-8\right)}{\left(\sqrt[3]{19+x}-3\right)\cdot \left(\sqrt{x} +2\sqrt{2} \right)}\right)\cdot \frac{ \left(\left(\sqrt[3]{19+x} \right)^2+ \sqrt[3]{19+x}\cdot 3+ 3^2\right)}{ \left(\left(\sqrt[3]{19+x} \right)^2+ \sqrt[3]{19+x}\cdot 3+ 3^2\right)} \Rightarrow }$

$\large\text{ \lim _{x\to 8}\left(\frac{ \left(x-8\right)\cdot \left(\left(\sqrt[3]{19+x} \right)^2+ \sqrt[3]{19+x}\cdot 3+ 3^2\right)}{\left(\left(\sqrt[3]{19+x}\right)^3-(3)^3\right)\cdot \left(\sqrt{x} +2\sqrt{2} \right)}\right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \lim _{x\to 8}\left(\frac{ \left(x-8\right)\cdot \left(\left(\sqrt[3]{19+x} \right)^2+ \sqrt[3]{19+x}\cdot 3+ 3^2\right)}{(19+x-27)\cdot \left(\sqrt{x} +2\sqrt{2} \right)}\right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \lim _{x\to 8}\left(\frac{ \left(x-8\right)\cdot \left(\left(\sqrt[3]{19+x} \right)^2+ \sqrt[3]{19+x}\cdot 3+ 3^2\right)}{(x-8)\cdot \left(\sqrt{x} +2\sqrt{2} \right)}\right)\Rightarrow }$

Veja que apareceu o $(X-8)$ como prevíamos basta simplificarmos o $(X-8)$ entre eles e assim não haverá mais  indeterminação e assim podemos substituir X por 8

$\large\text{ \lim _{x\to 8}\left(\frac{ \left(x-8\right)\cdot \left(\left(\sqrt[3]{19+x} \right)^2+ \sqrt[3]{19+x}\cdot 3+ 3^2\right)}{(x-8)\cdot \left(\sqrt{x} +2\sqrt{2} \right)}\right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \lim _{x\to 8}\left(\frac{ \left(\left(\sqrt[3]{19+x} \right)^2+ \sqrt[3]{19+x}\cdot 3+ 3^2\right)}{\left(\sqrt{x} +2\sqrt{2} \right)}\right)\Rightarrow \frac{ \left(\left(\sqrt[3]{19+8} \right)^2+ \sqrt[3]{19+8}\cdot 3+ 3^2\right)}{\left(\sqrt{8} +2\sqrt{2} \right)} }$

$\large\text{ \frac{ \left(\left(\sqrt[3]{27^2} \right)+ \sqrt[3]{27}\cdot 3+ 9\right)}{\left(2\sqrt{2} +2\sqrt{2} \right)}\Rightarrow \frac{\sqrt[3]{729}+(3\cdot 3)+9 }{4\sqrt{2} } \Rightarrow \frac{9+9+9}{4\sqrt{2} }\Rightarrow \boxed{\frac{27}{4\sqrt{2} } } }$