Question

Lista de Exercícios- Limites contínuos

Calcule o limite da função a seguir


1i)

$\Large\text{ \lim _{x\to -1}\left(\frac{\:4-\sqrt{x^2+x+16}}{\:x^3+1}\right) }$

Answer 1

$\displaystyle \sf \lim_{x\to -1 } \left(\frac{4-\sqrt{x^2+x+16}}{x^3+1} \right) \\\\\\ \text{ao substituir x = - 1 dar{\'a} indetermina{\c c}{\~a}o} : \\\\\\ \frac{4-\sqrt{(-1)^2+(-1)+16}}{(-1)^3+1} \to \frac{4-\sqrt{16}}{-1+1}=\frac{4-4}{1-1} = \frac{0}{0} \\\\\\ \underline{\text{Ent{\~a}o vamos racionalizar o numerador da fra{\c c}{\~a}o } }:$

$\displaystyle \sf \lim_{x\to -1 } \left(\frac{4-\sqrt{x^2+x+16}}{x^3+1} \right) \\\\\\ \lim_{x\to -1 } \frac{(4-\sqrt{x^2+x+16})\cdot (4+\sqrt{x^2+x+16})}{(x^3+1)\cdot (4+\sqrt{x^2+x+16})} \\\\\\ \lim_{x\to -1 } \frac{16-(x^2+x+16) }{(x^3+1)\cdot (4+\sqrt{x^2+x+16}) }$

$\displaystyle \sf \lim_{x\to -1 } \frac{16-x^2-x-16 }{(x+1)\cdot (x^2-x+1)\cdot (4+\sqrt{x^2+x+16}) } \\\\\\ \lim_{x\to -1 } \frac{-x(x+1) }{(x+1)\cdot (x^2-x+1)\cdot (4+\sqrt{x^2+x+16}) } \\\\\\ \lim_{x\to -1 } \frac{-x }{ (x^2-x+1)\cdot (4+\sqrt{x^2+x+16}) } \\\\\\ \underline{\text{Fazendo x = -1 }} : \\\\\\ \frac{-(-1) }{ ((-1)^2-(-1)+1)\cdot (4+\sqrt{(-1)^2+(-1)+16}) }$

$\displaystyle \sf \frac{1}{(1+1+1)\cdot (4+\sqrt{1-1+16})} \to \frac{1}{3\cdot (4+\sqrt{16)}} \\\\\\ \frac{1}{3\cdot (4+4)} \to \frac{1}{ 3\cdot 8}=\frac{1}{24} \\\\\\ \boxed{\ \sf \lim_{x \to -1}\left( \frac{4-\sqrt{x^2+x+16}}{x^3+1} \right) = \frac{1}{24} \ }\checkmark$

Answer 2

Utilizando produtos notáveis podemos concluir que  quando X tende a -1 a função tenderá para

$\Large\text{ \boxed{\boxed{\dfrac{1}{24}} } }$

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos o seguinte limite

$\large\text{ \lim _{x\to -1}\left(\frac{4-\sqrt{x^2+x+16}}{x^3+1}\right) }$

Perceba que se a gente substituir X por -1 na função teremos uma indeterminação do tipo $\dfrac{0}{0}$

Então temos que usar alguma propriedade matemática para  fazer a indeterminação sumir, Perceba que o que faz a indeterminação acontecer é o $(X+1)$ ele não está evidente agora na função mas ele está ai escondido, o que temos que fazer é simplifica-lo

Primeiro observe que no denominador há $(X^3+1)$ Temos que ter em mente que podemos reescrever o 1 como $\boxed{1^3}$ e se fizermos isso teremos uma soma entre  dois cubos no denominador que é um produto notável bastante conhecido

• $\boxed{A^3+B^3=(A+B)\cdot(A^2-AB+B^2)}$

Então podemos reescrever nosso limite  assim

$\large\text{ \lim _{x\to -1}\left(\frac{4-\sqrt{x^2+x+16}}{x^3+1}\right)\Rightarrow \lim _{x\to -1}\left(\frac{4-\sqrt{x^2+x+16}}{x^3+1^3}\right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \lim _{x\to -1}\left(\frac{4-\sqrt{x^2+x+16}}{\left(x+1\right)\cdot \left(x^2-x\cdot 1+1^2\right)}\right) }$

Perceba que apareceu o nosso $(X+1)$ no denominador agora temos que fazer ele aparecer no numerador e assim simplifica-lo para que não haja mais indeterminação

Para fatorarmos a expressão do númerador podemos usar a diferença de dois quadrados

• $\boxed{A^2-B^2=(A+B)\cdot (A-B)}$

Onde $(4-\sqrt{x^2+x+16})$ representa $(A-B)$, então temos que multiplicar toda a função por $(A+B)$ em cima e embaixo para poder fatorar

$(A+B)\Rightarrow (4+\sqrt{x^2+x+16})$

Então vamos lá

$\large\text{ \lim _{x\to -1}\left(\frac{4-\sqrt{x^2+x+16}}{\left(x+1\right)\cdot \left(x^2-x\cdot 1+1^2\right)}\right) \Rightarrow }$

$\large\text{ \lim _{x\to -1}\left(\frac{4-\sqrt{x^2+x+16}}{\left(x+1\right)\cdot \left(x^2-x\cdot 1+1^2\right)}\right)\cdot \left(\frac{4+\sqrt{x^2+x+16} }{4+\sqrt{x^2+x+16} }\right) \Rightarrow }$

$\large\text{ \lim _{x\to -1}\left(\frac{4^2-\left(\sqrt{x^2+x+16}\right)^2}{\left(x+1\right)\cdot \left(x^2-x\cdot 1+1^2\right)\cdot(4+\sqrt{x^2+x+16}) }\right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \lim _{x\to -1}\left(\frac{16-(x^2+x+16)}{\left(x+1\right)\cdot \left(x^2-x\cdot 1+1^2\right)\cdot(4+\sqrt{x^2+x+16}) }\right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \lim _{x\to -1}\left(\frac{16-x^2-x-16}{\left(x+1\right)\cdot \left(x^2-x\cdot 1+1^2\right)\cdot(4+\sqrt{x^2+x+16}) }\right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \lim _{x\to -1}\left(\frac{-x^2-x}{\left(x+1\right)\cdot \left(x^2-x\cdot 1+1^2\right)\cdot(4+\sqrt{x^2+x+16}) }\right)\Rightarrow }$

Acabamos de fatorar a expressão mas não apareceu o $(X+1)$ que causa a nossa indeterminação, mas se colocarmos o $-X$ em evidencia no numerador ele aparecerá, e então poderemos simplificar  e assim substituir X por -1

$\large\text{ \lim _{x\to -1}\left(\frac{-x^2-x}{\left(x+1\right)\cdot \left(x^2-x\cdot 1+1^2\right)\cdot(4+\sqrt{x^2+x+16}) }\right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \lim _{x\to -1}\left(\frac{-x\cdot(x+1)}{\left(x+1\right)\cdot \left(x^2-x\cdot 1+1^2\right)\cdot(4+\sqrt{x^2+x+16}) }\right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \lim _{x\to -1}\left(\frac{-x}{ \left(x^2-x\cdot 1+1^2\right)\cdot(4+\sqrt{x^2+x+16}) }\right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \lim _{x\to -1}\left(\frac{-(-1)}{ \left((-1)^2-(-1)\cdot 1+1^2\right)\cdot(4+\sqrt{(-1)^2+(-1)+16}) }\right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \lim _{x\to -1}\left(\frac{1}{ \left(1+1+1\right)\cdot(4+\sqrt{(1-1+16}) }\right)\Rightarrow \lim _{x\to -1}\left(\frac{1}{ \left(3\right)\cdot(4+\sqrt{(16}) }\right)\Rightarrow }$

$\large \lim _{x\to -1}\left(\frac{1}{ \left(3\right)\cdot(4+4) }\right)\Rightarrow \lim _{x\to -1}\left(\frac{1}{ \left(3\right)\cdot(8) }\right)\Rightarrow\dfrac{1}{24}$

Assim concluímos que quando X tende a -1 a função tenderá para $\dfrac{1}{24}$

Aprenda mais sobre limites aqui:

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