Question

Lista de Exercícios- Limites contínuos
Calcule o limite da função a seguir

1H)

$\large\text{ \lim_{x\to2}\left(\dfrac{\sqrt{x^2-2x+4} ~-~\sqrt{x^2+2x-4} }{x^2-3x+2}\right) }$

Answer 1

Usando produtos notáveis podemos concluir que quando X tende a 2 a função tenderá para

$\Large\text{\boxed{\boxed{-1}}}$

Mas, como chegamos nessa reposta ?

Temos o seguinte limite

$\Large\text{ \lim_{x\to2}\left(\dfrac{\sqrt{x^2-2x+4}~-~ \sqrt{x^2+2x-4} }{x^2-3x+2}\right) }$

Veja que se substituirmos X por 2 a função vai para uma indeterminação $\dfrac{0}{0}$

$\large\text{ \lim_{x\to2}\left(\dfrac{\sqrt{x^2-2x+4}~-~ \sqrt{x^2+2x-4} }{x^2-3x+2}\right) \Rightarrow }$

$\large\text{ \lim_{x\to2}\left(\dfrac{\sqrt{2^2-2\cdot 2+4}~-~ \sqrt{2^2+2\cdot 2-4} }{2^2-3\cdot2+2}\right) \Rightarrow }$

$\large\text{ \lim_{x\to2}\left(\dfrac{\sqrt{4}~-~ \sqrt{4} }{6-6}\right) \Rightarrow \dfrac{0}{0}? }$

Então temos que usar alguma propriedade matemática para fazer essa indeterminação sumir, como o X tende a 2 e dá uma indeterminação $\dfrac{0}{0}$ então provavelmente  temos no numerador e no denominador   a expressão $(X-2)$

Bem no denominador temos   $x^2-3x+2$  então vamos fatorar essa expressão

Podemos fatorar de varias maneiras como Baskhara  por exemplo mas usarei o método soma e produto

• $\boxed{x^2+(a+b)x+(ab)\Rightarrow (x+a)\cdot (a+b)}$

Perceba que $(a+b)= -3$ e $(a\cdot b)=2$

Dois números multiplicados que dão 2 e somados dão -3 ?

Esse números são $-2 ~e ~-1$. Substituindo na formula temos

$\boxed{x^2+(a+b)x+(ab)\Rightarrow (x+a)\cdot (a+b)}$

$x^2+(-3)x+(2)\Rightarrow x^2+((-2)+(-1))x+((-2)\cdot (-1))\Rightarrow \\ \\(x+(-2))\cdot (x+(-1) )\Rightarrow\boxed{ (x-2)\cdot (x-1)}$

Então podemos concluir que

$\boxed{x^2-3x+2 = (x-2)\cdot (x-1)}$

Substituindo no limite dado temos

$\Large\text{ \lim_{x\to2}\left(\dfrac{\sqrt{x^2-2x+4}~-~ \sqrt{x^2+2x-4} }{x^2-3x+2}\right)\Rightarrow }$

$\Large\text{ \lim_{x\to2}\left(\dfrac{\sqrt{x^2-2x+4}~-~ \sqrt{x^2+2x-4} }{(x-2)\cdot(x-1)}\right)\Rightarrow }$

Perceba que apareceu o $(X-2)$ no denominador então temos que fazer aparecer o $(X-2)$ no numerador assim não teremos indeterminação

Para fatorar esse numerador vamos recorrer a um velho amigo nosso os produtos notáveis

Para resolver esse limite usaremos a diferença de dois quadrados

• $\boxed{A^2-B^2=(A+B)\cdot (A-B)}$

Podemos reescrever $\left(\sqrt{x^2-2x+4}~-~\sqrt{x^2+2x-4} \right)$ como  $(A-B)$ e para termos a diferença de dois quadrados  temos que multiplicar toda a função por $(A+B)$ em cima embaixo

$(A+B)\Rightarrow \left(\sqrt{x^2-2x+4}~+~ \sqrt{x^2+2x-4\right)$

Para facilitar as contar vou chamar  $(\sqrt{x^2-2x+4})$ de $A$ e  $\sqrt{x^2+2x-4$ de B

$\left(\sqrt{x^2-2x+4})\Rightarrow A$

$\sqrt{x^2+2x-4\right)\Rightarrow B$

Então vamos la calcular o nosso limite

$\lim_{x\to2}\left(\dfrac{\sqrt{x^2-2x+4}~-~ \sqrt{x^2+2x-4} }{(x-2)\cdot(x-1)}\right)\Rightarrow \lim_{x\to1}\dfrac{A-B}{(x-2)\cdot (x-1)}$

$\lim_{x\to2}\dfrac{A-B}{(x-2)\cdot (x-1)}\cdot \dfrac{A+B}{A+B} \Rightarrow \lim_{x\to2}\dfrac{A^2-B^2}{(x-2)\cdot (x-1)\cdot (A+B)}$

Substituindo A e B por respectivamente

$(\sqrt{x^2-2x+4})\Rightarrow A$

$\sqrt{x^2+2x-4\right)\Rightarrow B$

Temos

$\lim_{x\to2}\dfrac{\sqrt{x^2-2x+4} ^2-\sqrt{x^2+2x-4} ^2}{(x-2)\cdot (x-1)\cdot (\sqrt{x^2-2x+4}+\sqrt{x^2+2x-4})}$

$\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-2x+4-(x^2+2x-4)}{(x-2)\cdot (x-1)\cdot (\sqrt{x^2-2x+4}+\sqrt{x^2+2x-4})}\Rightarrow$

$\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-2x+4-x^2-2x+4}{(x-2)\cdot (x-1)\cdot (\sqrt{x^2-2x+4}+\sqrt{x^2+2x-4})}\Rightarrow$

$\lim_{x\to2}\dfrac{-4x+8}{(x-2)\cdot (x-1)\cdot (\sqrt{x^2-2x+4}+\sqrt{x^2+2x-4})}\Rightarrow$

Perceba que fizemos o produto notável do numerador mais ainda não apareceu o $(X-2)$ , mas ele está la  se colocarmos em evidencia o -4 da expressão $-4x+8$ teremos o nosso $(X-2)$

$\lim_{x\to2}\dfrac{-4x+8}{(x-2)\cdot (x-1)\cdot (\sqrt{x^2-2x+4}+\sqrt{x^2+2x-4})}\Rightarrow\\\\\\\lim_{x\to2}\dfrac{-4\cdot (x-2)}{(x-2)\cdot (x-1)\cdot (\sqrt{x^2-2x+4}+\sqrt{x^2+2x-4})}\Rightarrow$

É está lá, agora basta simplificarmos o  $(X-2)$ pois está no numerador e no denominador e assim não teremos mais indeterminação ou seja podemos substituir X por 2 e não cairá em indeterminação

$lim_{x\to2}\dfrac{-4\cdot (x-2)}{(x-2)\cdot (x-1)\cdot (\sqrt{x^2-2x+4}+\sqrt{x^2+2x-4})}\Rightarrow$

$lim_{x\to2}\dfrac{-4}{(x-1)\cdot (\sqrt{x^2-2x+4}+\sqrt{x^2+2x-4})}\Rightarrow\\\\\\lim_{x\to2}\dfrac{-4}{(2-1)\cdot (\sqrt{2^2-2\cdot 2+4}+\sqrt{2^2+2\cdot 2-4})}\Rightarrow\\\\\\\dfrac{-4}{(1)\cdot (\sqrt{4-4+4}+\sqrt{4+4-4})}\Rightarrow\dfrac{-4}{ (\sqrt{4}+\sqrt{4})}\Rightarrow\dfrac{-4}{2+2}\Rightarrow \\\\\\\dfrac{-4}{4} \Rightarrow \boxed{-1}$

Ou seja quando X tende 2 a função tenderá para -1 .

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