Question

Lista de exercícios- Limites contínuos

Calcule o limite abaixo

1G)
$\Large\text{ \lim_{h\to0}\left(\frac{(x+h)^{\frac{1}{3} }-x^{\frac{1}{3} }}{h} \right) }$

Answer 1

Usando produtos notáveis podemos concluir que quando H tende a 0 a função Tente para

$\large\text{ \boxed{\boxed{\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2} } }} }$

Mas, como chegamos nessa resposta ?

Temos o seguinte limite

$\large\text{ \lim_{h\to0}\left(\dfrac{(x+h)^{\frac{1}{3} }-x^{\frac{1}{3} }}{h} \right) }$

Perceba que quando substituirmos H por 0 causará uma indeterminação na função do tipo $\dfrac{0}{0}$

$\large\text{ \lim_{h\to0}\left(\dfrac{(x+h)^{\frac{1}{3} }-x^{\frac{1}{3} }}{h} \right)\Rightarrow \lim_{h\to0}\left(\dfrac{(x+0)^{\frac{1}{3} }-x^{\frac{1}{3} }}{0} \right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \dfrac{x^{\frac{1}{3} }-x^{\frac{1}{3} }}{0} \Rightarrow\dfrac{0}{0} }$

Antes de começarmos vamos simplificar o limite dado com a propriedade de expoente fracionário para raiz $\boxed{A^{\dfrac{b}{c} }=\sqrt[c]{A^b} }$

$\large\text{ \lim_{h\to0}\left(\dfrac{(x+h)^{\frac{1}{3} }-x^{\frac{1}{3} }}{h} \right)\Rightarrow \lim_{h\to0}\left(\dfrac{\sqrt[3]{x+h} -\sqrt[3]{x} }{h} \right) }$

Agora para resolver a nossa indeterminação usaremos os produtos notáveis

Nesse limite teremos que usar a diferença de dois cubos

• $\boxed{ (A^3-B^3)=(A-B)\cdot (A^2+AB+B^2)}$

Perceba que podemos reescrever $(\sqrt[3]{x+h} -\sqrt[3]{x} )$ como $(A-B)$ sendo

$\sqrt[3]{x+h}\Rightarrow A\\ \\\sqrt[3]{x}\Rightarrow B$

Então para  termos a diferença de dois cubos na nossa função tem que ser multiplicada  por $(A^2+AB+B^2)$ em cima e embaixo para não haver indeterminação

Lembrando que:

$(A^2+AB+B^2)\Rightarrow (\sqrt[3]{x+h})^2 +\sqrt[3]{x+h}\cdot \sqrt[3]{x} +(\sqrt[3]{x})^2$

Com isso em menta vamos resolver nosso limite

$\large\text{ \lim_{h\to0}\left(\dfrac{\sqrt[3]{x+h} -\sqrt[3]{x} }{h} \right) \Rightarrow \lim_{h\to0}\left(\frac{\sqrt[3]{x+h} -\sqrt[3]{x} }{h} \right) \cdot \frac{(\sqrt[3]{x+h})^2 +\sqrt[3]{x+h}\cdot \sqrt[3]{x} +(\sqrt[3]{x})^2}{(\sqrt[3]{x+h})^2 +\sqrt[3]{x+h}\cdot \sqrt[3]{x} +(\sqrt[3]{x})^2} }$

$\large\text{ \lim_{h\to0}\left(\dfrac{(\sqrt[3]{x+h})^3 -(\sqrt[3]{x})^3 }{h\cdot \left((\sqrt[3]{x+h})^2 +\sqrt[3]{x+h}\cdot \sqrt[3]{x} +(\sqrt[3]{x})^2\right)} \right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \lim_{h\to0}\left(\dfrac{x+h -x }{h\cdot (\sqrt[3]{x+h})^2 +\sqrt[3]{x+h}\cdot \sqrt[3]{x} +(\sqrt[3]{x})^2} \right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \lim_{h\to0}\left(\dfrac{h }{h\cdot \left((\sqrt[3]{x+h})^2 +\sqrt[3]{x+h}\cdot \sqrt[3]{x} +(\sqrt[3]{x})^2\right)} \right)\Rightarrow }$

Perceba que temos a Variável H em cima e embaixo  então podemos simplifica-las  e depois disso podemos substituir H por 0 normalmente pois  a indeterminação não existirá mais

$\large\text{ \lim_{h\to0}\left(\dfrac{h }{h\cdot \left((\sqrt[3]{x+h})^2 +\sqrt[3]{x+h}\cdot \sqrt[3]{x} +(\sqrt[3]{x})^2\right)} \right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \lim_{h\to0}\left(\dfrac{1 }{ \left((\sqrt[3]{x+h})^2 +\sqrt[3]{x+h}\cdot \sqrt[3]{x} +(\sqrt[3]{x})^2\right)} \right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \left(\dfrac{1 }{ \left((\sqrt[3]{x+0})^2 +\sqrt[3]{x+0}\cdot \sqrt[3]{x} +(\sqrt[3]{x})^2\right)} \right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \left(\dfrac{1 }{ \left((\sqrt[3]{x})^2 +\sqrt[3]{x}\cdot \sqrt[3]{x} +(\sqrt[3]{x})^2\right)} \right)\Rightarrow \left(\dfrac{1 }{ \left((\sqrt[3]{x})^2 +\sqrt[3]{x}\cdot \sqrt[3]{x} +(\sqrt[3]{x})^2\right)} \right) }$

$\large\text{ \left(\dfrac{1 }{ \left((\sqrt[3]{x})^2 +\sqrt[3]{x^2} +(\sqrt[3]{x^2})\right)} \right) \Rightarrow \boxed{\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2} } } }$

Assim concluímos que  quando H tende a 0 a função tende para

$\large\text{ \boxed{\boxed{\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2} } }} }$

A titulo de curiosidade acabamos de fazer a derivada $\sqrt[3]{x}$ por definição

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Answer 2

Usando a regra de L'Hospital para h tendendo a 0 o valor da função tende a 1/3∛(x²).

• Para determinar o limite para h tendendo a 0, substitua h por 0.

$\large\text{ \lim_{h \to 0} \left(\dfrac{(x+h)^{\frac{1}{3} }-x^{\frac{1}{3}}}{h} \right) = \dfrac{(x+0)^{\frac{1}{3} }-x^{\frac{1}{3}}}{0} = \dfrac{x^{\frac{1}{3} }-x^{\frac{1}{3}}}{0} = \dfrac {0}{0} }$

• Observe que o resultado é indeterminado.
• Para eliminar a indeterminação pode-se transformar a equação ou no caso de limites indeterminados do tipo 0/0 ou ∞/∞ pode-se usar a regra de L'Hospital: calcule as derivadas do numerador e do denominator e então calcule o limite.

$\large \text{ \sf \dfrac{d}{dh} \left( (x+h)^{\frac{1}{3} }-x^{\frac{1}{3}} \right) = \dfrac{d}{dh} (x+h)^{\frac{1}{3}} - \dfrac{d}{dh} x^{\frac{1}{3}} }$

• Observe que o último termo da expressão anterior é zero pois na derivada em relação a h x é uma constante.

$\large \text { \sf \dfrac{d}{dh} (x+h)^{\frac{1}{3}} = \dfrac {1}{3} (x+h)^{\frac{1}{3}-1} \cdot \dfrac{d}{dh}(x+h) = \dfrac {(x+h)^{-\frac {2}{3}}}{3} \cdot 1 }$

$\large \sf \dfrac{d}{dh} \left( h \right) = 1$

• Substitua as respectivas derivadas na equação.

$\large\text{ \lim_{h \to 0} \left(\dfrac{(x+h)^{\frac{1}{3} }-x^{\frac{1}{3}}}{h} \right) = \lim_{h \to 0} \left( \dfrac{(x+h)^{-\frac {2}{3}}}{3} \right) }$

• Substitua h por 0.

$\large\text{ \lim_{h \to 0} \left( \dfrac{(x+h)^{-\frac{2}{3}}}{3} \right) = \dfrac{(x+0)^{-\frac{2}{3}}}{3} = \dfrac{x^{-\frac{2}{3}}}{3} = \dfrac{1}{3x^{\frac{2}{3}}} = \dfrac{1}{3\sqrt [3]{x^2}} }$

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