Question

Lista de Exercícios- Limites


Calcule o limite da função a seguir


1E)


$\Large\text{ \lim_{x\to 1}\left(\dfrac{x^{\frac{1}{3} }-1}{x^{\frac{1}{4} }-1} \right) }$

Answer 1

Usando produtos notáveis podemos concluir  que quando X tende a 1 a função tenderá para

$\Large\text{ \boxed{\boxed{\dfrac{4}{3} }} }$

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos o seguinte limite

$\large\text{ \lim_{x\to1}\left(\dfrac{x^{\frac{1}{3} }-1}{x^{\frac{1}{4} }-1} \right) }$

Perceba que quando substituirmos X por 1 a função tende a  uma indeterminação $\dfrac{0}{0}$

$\large\text{ \lim_{x\to1}\left(\dfrac{x^{\frac{1}{3} }-1}{x^{\frac{1}{4} }-1} \right)\Rightarrow \lim_{x\to1}\left(\dfrac{1^{\frac{1}{3} }-1}{1^{\frac{1}{4} }-1} \right)\Rightarrow \dfrac{1-1}{1-1} \Rightarrow \dfrac{0}{0}? }$

Então temos que usar alguma propriedade matemática para eliminar essa indeterminação, mas antes de fazermos isso vamos simplificar o limite usando a propriedade de expoente fracionário para raiz

• $\boxed{A^{\dfrac{B}{C} }= \sqrt[C]{A^B} }$

Aplicando a propriedade temos

$\large\text{ \lim_{x\to1}\left(\dfrac{x^{\frac{1}{3} }-1}{x^{\frac{1}{4} }-1} \right)\Rightarrow \lim_{x\to1}\left(\dfrac{\sqrt[3]{x} -1}{\sqrt[4]{x} -1} \right) }$

Agora vamos analisar o nosso limite, perceba que o que faz dar a indeterminação $\dfrac{0}{0}$ é a expressão $(x-1)$. Pode não aparentar mas essa expressão esta dentro do nosso limite, o que temos que fazer é usar alguma propriedade matemática para conseguir simplicar essa e expressão

Para resolver isso usaremos produtos notáveis da diferença entre dois cubos e o produto notável da diferença de dois números elevados a quatro

• Diferença entre dois cubos

     $\boxed{A^3-B^3= (A-B)\cdot (A^2+AB+B^2)}$

• Diferença entre dois números elevado a quatro

     $\boxed{A^4-B^4=(A^2+B^2)\cdot (A+B)\cdot (A-B)}$

Primeiro vamos começar com o numerador, temos a seguinte expressão $(\sqrt[3]{x} -1)$ perceba que podemos reescrever essa expressão como $(A-B)$ Sendo

$A\Rightarrow\sqrt[3]{x}$

$B\Rightarrow 1$

Então para termos $A^3-B^3$ precisamos multiplicara função por $(A^2+AB+B^2)$ Em cima e embaixo para não alterarmos nada no resultado

$(A^2+AB+B^2)\Rightarrow (\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}\cdot 1+1^2 )$

Então nosso limite fica assim

$\large\text{ \lim_{x\to1}\left(\dfrac{\sqrt[3]{x} -1}{\sqrt[4]{x} -1} \right)\cdot \left(\dfrac{ (\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}\cdot 1+1^2)}{(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}\cdot 1+1^2)} \right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \lim_{x\to1}\left(\dfrac{\left(\sqrt[3]{x}\right)^3 -1^3}{(\sqrt[4]{x} -1)\cdot (\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}\cdot 1+1^2)} \right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \lim_{x\to1}\left(\dfrac{\left(x -1)}{(\sqrt[4]{x} -1)\cdot (\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}\cdot 1+1^2)} \right)\Rightarrow }$

Perceba que o $(X-1)$ apareceu no numerador. Mas, se substituirmos X por 1 ainda acontecerá indeterminação na função então temos que usar produtos notáveis  para fazer aparecer $(X-1)$ no denominador

Então usaremos a Diferença entre dois números elevado a quatro $\boxed{A^4-B^4=(A^2+B^2)\cdot (A+B)\cdot (A-B)}$

Perceba que $(\sqrt[4]{x}-1)$ pode ser reescrito como $(A-B)$

$\sqrt[4]{x}\Rightarrow A\\ \\1\Rightarrow B$

Então para termos $A^4-B^4$ precisamos multiplicara função por $(A^2+B^2)\cdot (A+B)$ Em cima e embaixo para não alterarmos nada no resultado

$(A^2+B^2)\cdot (A+B)\Rightarrow (\sqrt[4]{x^2} +1^2)\cdot (\sqrt[4]{x} +1)$

Então vamos lá

$\large\text{ \lim_{x\to1}\left(\dfrac{\left(x -1)}{(\sqrt[4]{x} -1)\cdot (\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}\cdot 1+1^2)} \right)\cdot \dfrac{ (\sqrt[4]{x^2} +1^2)\cdot (\sqrt[4]{x} +1)}{ (\sqrt[4]{x^2} +1^2)\cdot (\sqrt[4]{x} +1)} }$

$\large\text{ \lim_{x\to1}\left(\dfrac{(x -1)\cdot (\sqrt[4]{x^2} +1^2)\cdot (\sqrt[4]{x} +1)}{\left(\sqrt[4]{x}\right)^4 -1^4\cdot (\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}\cdot 1+1^2)} \right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \lim_{x\to1}\left(\dfrac{(x -1)\cdot (\sqrt[4]{x^2} +1^2)\cdot (\sqrt[4]{x} +1)}{(x-1)\cdot (\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}\cdot 1+1^2)} \right)\Rightarrow }$

Perceba que temos $(X-1)$ em cima e embaixo  então podemos simplifica-los fazendo assim a indeterminação sumir então podemos substituir X por 1

$\large\text{ \lim_{x\to1}\left(\dfrac{(x -1)\cdot (\sqrt[4]{x^2} +1^2)\cdot (\sqrt[4]{x} +1)}{(x-1)\cdot (\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}\cdot 1+1^2)} \right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \lim_{x\to1}\left(\dfrac{ (\sqrt[4]{x^2} +1^2)\cdot (\sqrt[4]{x} +1)}{ (\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}\cdot 1+1^2)} \right)\Rightarrow }$ $\large\text{ \left(\dfrac{ (\sqrt[4]{1^2} +1^2)\cdot (\sqrt[4]{1} +1)}{ (\sqrt[3]{1^2}+\sqrt[3]{1}\cdot 1+1^2)} \right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \left(\dfrac{ (1+1)\cdot (1+1)}{ (1+1+1^)} \right)\Rightarrow\dfrac{2+2}{3}\Rightarrow \boxed{\dfrac{4}{3} } }$

Então podemos concluir que quando X tende a 1 a função tende a $\dfrac{4}{3}$

Answer 2

Usando a regra de L'Hospital se x tende a 1 o valor da função tende a 4/3.

• Para determinar o limite para x tendendo a 1, substitua x por 1.

$\large\text{ \lim_{x \to 1} \left(\dfrac{x^{\frac{1}{3} }-1}{x^{\frac{1}{4} }-1} \right) = \dfrac{1^{\frac{1}{3} }-1}{1^{\frac{1}{4} }-1} = \dfrac {1-1}{1-1} = \dfrac {0}{0} }$

• Observe que o resultado é indeterminado.
• Para eliminar a indeterminação pode-se transformar a equação ou no caso de limites indeterminados do tipo 0/0 ou ∞/∞ pode-se usar a regra de L'Hospital: calcule as derivadas do numerador e do denominator e então calcule o limite.

$\large \text { \sf \dfrac{d}{dx} \left(x^{\frac{1}{3}}-1 \right) = \dfrac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}} = \dfrac {1}{3 \cdot x^{\frac{2}{3}}} }$

$\large \text { \sf \dfrac{d}{dx} \left(x^{\frac{1}{4}}-1 \right) = \dfrac{1}{4} \cdot x^{-\frac{3}{4}} = \dfrac {1}{4 \cdot x^{\frac{3}{4}}} }$

• Substitua as respectivas derivadas na equação.

$\large\text{ \lim_{x \to 1} \left(\dfrac{x^{\frac{1}{3} }-1}{x^{\frac{1}{4} }-1} \right) = \lim_{x \to 1} \left( \dfrac{ \dfrac {1}{3 \cdot x^{\frac{2}{3}}}}{ \dfrac {1}{4 \cdot x^{\frac{3}{4}}}} \right) = \lim_{x \to 1} \left( \dfrac {1}{3 \cdot x^{\frac{2}{3}}} \cdot \dfrac {4 \cdot x^{\frac{3}{4}}}{1} \right) }$

$\large\text{ \lim_{x \to 1} \left(\dfrac{x^{\frac{1}{3} }-1}{x^{\frac{1}{4} }-1} \right) = \lim_{x \to 1} \left( \dfrac {4 \cdot x^{\frac{3}{4}}}{3 \cdot x^{\frac{2}{3}}} \right) }$

• Substitua x por 1.

$\large\text{ \lim_{x \to 1} \left( \dfrac {4 \cdot x^{\frac{3}{4}}}{3 \cdot x^{\frac{2}{3}}} \right) = \dfrac {4 \cdot 1^{\frac{3}{4}}}{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}} = \dfrac {4}{3} }$

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