Question

Lista de Exercícios- Limites

Calcule o limite da função a seguir

1C)

$\Large\text{ \lim_{x\to1}\left(\frac{\sqrt{x}-1 }{x^{\frac{1}{3} }-1} \right) }$

Answer 1

Usando a Regra de l'Hôpital podemos concluir que quando a variável X tende a 1 função tende para

$\Large\text{ \boxed{\boxed{\frac{3}{2} }} }$

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos o seguinte limite

$\large\text{ \lim _{x\to 1}\left(\dfrac{\sqrt{x}-1}{x^{\frac{1}{3} }-1}\right) }$

Perceba que se substituirmos  X por 1 a função tenderá  para um indeterminação

$\large\text{ \lim _{x\to 1}\left(\dfrac{\sqrt{x}-1}{x^{\frac{1}{3} }-1}\right) }\Rightarrow \large\text{ \left(\dfrac{\sqrt{1}-1}{1^{\frac{1}{3} }-1}\right) } \Rightarrow \large\left(\dfrac{1-1}{1-1}\right) \Rightarrow \large\left(\dfrac{0}{0}\right)?$

Então temos que usar alguma propriedade da matemática que faça essa indeterminação sumir, mas existe um jeito muito menos trabalhoso de fazer esse problema

Usando a regra de Regra de l'Hôpital

• A regra de l´Hôpital serve para resolvermos limites  que tem indeterminação $\dfrac{0}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$. Quando dermos de cara com essa indeterminação basta derivarmos todos os membros do numerador e do denominador ate que a indeterminação não exista mais

Agora vamos lembrar de algumas derivadas necessárias para resolver esse problema

• Derivada de uma constante

$\boxed{\dfrac{dy}{dx} (C)= 0}$

• Deriva de uma variável elevada a uma constante

$\boxed{\dfrac{dy}{dx} (X^N)= N\cdot X^{N-1}}$

Com isso em mente vamos derivar o limite

$\Large\text{ \lim_{x \to 1} \left(\dfrac{\sqrt{x} -1 }{x^{\frac{1}{3} }-1} \right) }\Rightarrow \large\text{ \lim_{x \to 1} \left(\dfrac{\dfrac{dy}{dx}(\sqrt{x} ) -\dfrac{dy}{dx}(1) }{\dfrac{dy}{dx}(x^{\frac{1}{3} })-\dfrac{dy}{dx}(1)} \right) }$

Vamos fazer cada derivada separadamente

• Derivada de 1

$\dfrac{dy}{dx} (1)=0$     (1 é uma constante e a derivada de qualquer constante é 0)

• Derivada de $\sqrt{x}$

$\Large\text{ \dfrac{dy}{dx} (\sqrt{x} )\Rightarrow \dfrac{dy}{dx} (x^{\frac{1}{2} } )\Rightarrow \dfrac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}-1 } \Rightarrow \dfrac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2} }\Rightarrow\boxed{\dfrac{1}{2\cdot x^{\frac{1}{2} }}} }$

• Derivada de $X^{\dfrac{1}{3} }$

$\Large\text{ \dfrac{dy}{dx} (x^{\frac{1}{3} } )\Rightarrow \dfrac{1}{3}\cdot x^{\frac{1}{3}-1 } \Rightarrow \dfrac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3} }\Rightarrow\boxed{\dfrac{1}{3\cdot x^{\frac{2}{3} }}} }$

Com isso em mente vamos substituir no Limite

$\large\text{ \lim_{x \to 1} \left(\dfrac{\dfrac{dy}{dx}(\sqrt{x} ) -\dfrac{dy}{dx}(1) }{\dfrac{dy}{dx}(x^{\frac{1}{3} })-\dfrac{dy}{dx}(1)} \right) }\Rightarrow \large\text{ \boxed{\lim_{x \to 1} \left(\dfrac{\dfrac{1}{2x^{\frac{1}{2} }} -0 }{\dfrac{1}{3x^{\frac{2}{3} }} -0} \right)} }$

Perceba se substituir X por 1 não teremos mais indeterminação então basta substituirmos

$\large\text{ \lim_{x \to 1} \left(\dfrac{\dfrac{1}{2x^{\frac{1}{2} }} -0 }{\dfrac{1}{3x^{\frac{2}{3} }} -0} \right)\Rightarrow \dfrac{\dfrac{1}{2\cdot 1^{\frac{1}{2} }}-0 }{\dfrac{1}{3\cdot 1^{\frac{2}{3} }}-0 } \Rightarrow \dfrac{\dfrac{1}{2} }{\dfrac{1}{3} } \Rightarrow \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{3}{1}\Rightarrow \boxed{\frac{3}{2} } }$

Assim concluímos que quando X tende a 1 a função tenderá para $\dfrac{3}{2}$

Perceba na imagem anexada que quando X=1 a função tende a $\dfrac{3}{2}$ mas é um ponto aberto porque quando X=1 a função é indefinida

Answer 2

Usando os produto notáveis podemos concluir que quando X tende a 1 o valor da função tende para

$\Large\text{ \boxed{\frac{3}{2} } }$

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos o seguinte limite

$\large\text{ \lim_{x\to1}\left(\dfrac{\sqrt{x} -1}{x^{\frac{1}{3} }-1}\right) }$

Perceba que substituirmos X por 1 teremos uma indeterminação $\dfrac{0}{0}$

$\large\text{ \lim_{x\to1}\left(\dfrac{\sqrt{x} -1}{x^{\frac{1}{3} }-1}\right) \Rightarrow \dfrac{\sqrt{1} -1}{1^{\frac{1}{3} }-1} \Rightarrow \dfrac{1-1}{1-1}\Rightarrow \dfrac{0}{0} }$

Então temos que usar algum método matemático para  fazer essa indeterminação sumir, para resolver esse problema podemos usar produtos notáveis

Primeiro de tudo vamos simplicar nosso  limite escrevendo $X^{\dfrac{1}{3} }$ como $\sqrt[3]{X}$

$\large\text{ \lim_{x\to1}\left(\dfrac{\sqrt{x} -1}{x^{\frac{1}{3} }-1}\right)\Rightarrow \lim_{x\to 1}\left(\dfrac{\sqrt{x} -1}{\sqrt[3]{x} -1}\right) }$

Agora vamos racionalizar tanto $(\sqrt{x} -1)$ quanto $(\sqrt[3]{x} -1)$  com produtos notáveis

Em $(\sqrt{x} -1)$ podemos usar  a diferença entre dois quadrados

• $\boxed{A^2-B^2=(A-B)\cdot (A+B)}$

Onde $(\sqrt{x} -1)$ pode ser escrito como $(A-B)$

$\sqrt{x} \Rightarrow A$

$1\Rightarrow B$

Então para termos a diferença  entre dois quadrados temos que multiplicar a função por $(\sqrt{x} +1)$ em cima e embaixo

Mas, lembre-se que temos $(\sqrt[3]{x}-1)$ para simplificar também, nessa expressão não usaremos a diferença de dois quadrados e sim  a diferença de dois cubos

• $\boxed{A^3-B^3=(A-B)\cdot(A^2+AB+B^2)}$

Onde $(\sqrt[3]{x} -1)$  pode ser escrito como $(A-B)$

$\sqrt[3]{x} \Rightarrow A\\\\1\Rightarrow B$

Então para termos a diferença  entre dois quadrados temos que multiplicar a função por $\left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}\cdot 1 +1^2\right)$ em cima e embaixo

Então vamos lá

$\large\text{ \lim_{x\to1}\left(\dfrac{\sqrt{x} -1}{x^{\frac{1}{3} }-1}\right) \Rightarrow\lim_{x\to1}\left(\dfrac{\sqrt{x} -1}{x^{\frac{1}{3} }-1}\right)\cdot \left(\frac{(\sqrt{x} +1)\cdot (\sqrt[3]{x^2}+ \sqrt[3]{x}+1 ) }{(\sqrt{x} +1)\cdot (\sqrt[3]{x^2}+ \sqrt[3]{x}+1)\right)} }$

$\large\text{ \lim_{x\to1}\left(\dfrac{\left(\sqrt{x}^2 -1^2\right)\cdot \left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x} +1\right)}{(\sqrt[3]{x}^3 -1^3)\cdot(\sqrt{x} +1)}\right) \Rightarrow }$

$\large\text{ \lim_{x\to1}\left(\dfrac{\left(x-1\right)\cdot \left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x} +1\right)}{(x-1)\cdot(\sqrt{x} +1)}\right) \Rightarrow }$

Agora perceba que temos  $(X-1)$  em cima e embaixo então podemos simplificar $(X-1)$ em cima e embaixo assim a indeterminação some

$\large\text{ \lim_{x\to1}\left(\dfrac{ \left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x} +1\right)}{(\sqrt{x} +1)}\right) }$

Agora que não temos mais a expressão que causa indeterminação basta substituirmos  X por 1 e ver que valor a função tende

$\large\text{ \lim_{x\to1}\left(\dfrac{ \left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x} +1\right)}{(\sqrt{x} +1)}\right)\Rightarrow\left(\dfrac{ \left(\sqrt[3]{1^2}+\sqrt[3]{1} +1\right)}{(\sqrt{1} +1)}\right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \dfrac{1+1+1}{1+1} \Rightarrow \boxed{\dfrac{3}{2}} }$

Então concluímos  que quando X tende a 1 a função tenderá para $\dfrac{3}{2}$

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