Question

Lista de exercícios- Limites
Calcule o limite abaixo

1D)
$\Large\text{ \lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{x+1}-1 }{(x+1)^{\frac{1}{3} }-1} }$

Answer 1

Usando a Regra de l'Hôpital podemos concluir que quando a variável X tende a 0 função tende para

$\Large\text{ \boxed{\boxed{\dfrac{3}{2} }} }$

Mas, como chegamos nessa resposta?

Perceba que ao substituirmos a variável  X por 0 a função tende  a uma indeterminação  $\dfrac{0}{0}$

$\Large\text{ \lim _{x\to 0}\left(\frac{\sqrt{1+x}-1}{\left(1+x\right)^{\frac{1}{3}}-1}\right)\Rightarrow\frac{\sqrt{1+0}-1 }{(1+0)^{\frac{1}{3} }-1} \Rightarrow \frac{1-1}{1-1} \Rightarrow \frac{0}{0}? }$

Então temos que usar alguma propriedade da matemática que faça essa indeterminação sumir, mas existe um jeito muito menos trabalhoso de fazer esse problema

Usando a regra de Regra de l'Hôpital

• A regra de l´Hôpital serve para resolvermos limites  que tem indeterminação $\dfrac{0}{0}~ou~ \dfrac{\infty}{\infty}$ ,quando dermos de cara com essa indeterminação basta derivarmos todos os membros do numerador e do denominador ate que a indeterminação não exista mais

Agora vamos lembrar de algumas derivadas necessárias para resolver esse problema

• Derivada de uma constate

$\boxed{\dfrac{dy}{dx} (C)= 0}$

• Derivada de uma variável elevada a uma potencia

$\boxed{\dfrac{dy}{dx} (X^N)= N\cdot X^{N-1}}$

• Derivada de uma raiz quadrada

$\boxed{\dfrac{dy}{dx}(\sqrt{x} )= \dfrac{1}{2\sqrt{x} } }$

• Derivada de uma raiz cubica

$\boxed{\dfrac{dy}{dx}(\sqrt{x} )= \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2} } }$

Com isso em mente vamos derivar o limite

$\Large\text{ \lim _{x\to 0}\left(\frac{\sqrt{1+x}-1}{\left(1+x\right)^{\frac{1}{3}}-1}\right)\Rightarrow \lim_{x\to0}\left(\dfrac{\frac{dy}{dx}(\sqrt{1+x} )-\frac{dy}{dx}(1) }{\frac{dy}{dx}(1+x)^{\frac{1}{3} }-\frac{dy}{dx} (1) } \right) }$

Vamos fazer cada derivada separadamente

• Derivada de 1

$\dfrac{dy}{dx} (1)=0$    (1 é uma constante e a derivada de qualquer constante é 0 )

• Derivada de $\sqrt{1+X}$ (Teremos que usar regra da cadeia  $U=(1+X)$ )

$\Large\text{ \frac{dy}{dx}(\sqrt{x+1} )\Rightarrow \frac{dy}{dx}(u)^{\frac{1}{2} }\cdot \frac{dy}{dx}(x+1) \Rightarrow \dfrac{1}{2\sqrt{u} }\cdot 1\Rightarrow \dfrac{1}{2\sqrt{x+1} } }$

• Derivada de $(x+1)^{\dfrac{1}{3} }$ (Teremos que usar regra da cadeia$U=(1+X)$ )

$\Large\text{ \frac{dy}{dx}(x+1)^{\frac{1}{3} }\Rightarrow \frac{dy}{dx} (u)^{\frac{1}{3} } \cdot \frac{dy}{dx}(x+1) \Rightarrow }$

$\Large\text{ \frac{1}{3\cdot\sqrt[3]{u^2} }\cdot 1 \Rightarrow \boxed{\frac{1}{3\cdot \sqrt[3]{(x+1)^2} } } }$

Substituindo isso no limite temos

$\Large\text{ \lim_{x\to0}\left(\frac{\frac{dy}{dx}(\sqrt{1+x} )-\frac{dy}{dx}(1) }{\frac{dy}{dx}(1+x)^{\frac{1}{3} }-\frac{dy}{dx} (1) } \right)\Rightarrow \lim_{x\to0}\dfrac{\frac{1}{2\sqrt{1+x} }-0 }{\frac{1}{3\cdot \sqrt[3]{(x+1)^2} } -0} }$

Agora se substituirmos X por 0 não teremos indeterminação

$\large\text{ \lim_{x\to0}\dfrac{\frac{1}{2\sqrt{1+x} }-0 }{\frac{1}{3\cdot \sqrt[3]{(x+1)^2} } -0} \Rightarrow \dfrac{\frac{1}{2\cdot \sqrt{1+0} }-0 }{\dfrac{1}{3\cdot \sqrt[3]{(0+1)^2} }-0 } \Rightarrow\dfrac{\dfrac{1}{2} }{\dfrac{1}{3} } \Rightarrow \boxed{\dfrac{3}{2} } }$

Quando X tende a 0 a função tende a $\dfrac{3}{2}$

Perceba na imagem anexada que quando X=0 a função tende a $\dfrac{3}{2}$ mas é um ponto aberto porque quando X=0 a função é indefinida

Aprenda mais sobre a regra de l'Hôpital aqui:

https://brainly.com.br/tarefa/3838426

https://brainly.com.br/tarefa/3852287

https://brainly.com.br/tarefa/53937188

Answer 2

Usando produtos notáveis Podemos concluir que quando X tende a 0 a função tenderá para

$\Large\text{ \boxed{\boxed{\frac{3}{2}}} }$

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos o seguinte limite

$\large\text{ \lim_{x\to0}\left(\dfrac{\sqrt{x+1} -1}{(x+1)^{\frac{1}{3} }-1}\right) }$

Perceba que substituirmos X por 1 teremos uma indeterminação $\dfrac{0}{0}$

$\large\text{ \lim_{x\to0}\left(\dfrac{\sqrt{x+1} -1}{(x+1)^{\frac{1}{3} }-1}\right)\Rightarrow\dfrac{\sqrt{0+1} -1}{(0+1)^{\frac{1}{3} }-1}\Rightarrow\dfrac{1-1}{1-1} \Rightarrow \dfrac{0}{0} ? }$

Então temos que usar algum método matemático para  fazer essa indeterminação sumir, para resolver esse problema podemos usar produtos notáveis

Primeiro vamos simplificar o limite dado, com propriedades de potenciação

• Potencia no expoente em raiz

        $\boxed{A^{\dfrac{b}{c} }\Rightarrow\sqrt[c]{A^b}}$

Então podemos transforma o $(X+1)^{\dfrac{1}{3} }$ em $\sqrt[3]{(X+1)^1}$

Então ficamos com o limite assim

$\large\text{ \lim_{x\to0}\left(\dfrac{\sqrt{x+1} -1}{(x+1)^{\frac{1}{3} }-1}\right) \Rightarrow \lim_{x\to0}\left(\dfrac{\sqrt{x+1} -1}{\sqrt[3]{x+1} -1}\right) }$

Agora vamos eliminar $(\sqrt{x+1} )$ e  o $\sqrt[3]{(x+1)}$  pois são eles que causam a nossa indeterminação, para resolver isso usamos  produtos notáveis

Em $(\sqrt{x+1} -1)$ usaremos o conjugado, ou seja  usaremos o produto notável da diferença de dois quadrados

• $\boxed{A^2-B^2=(A-B)\cdot (A+B)}$

Onde $(\sqrt{x+1}-1)$ pode ser escrito como $(A-B)$

$\sqrt{x+1}\Rightarrow A\\ \\1\Rightarrow B$

Então para termos a diferença  entre dois quadrados temos que multiplicar a função por $(\sqrt{x+1} +1)$ em cima e embaixo

Mas, lembre-se que temos $(\sqrt[3]{x+1}-1)$ para simplificar também, nessa expressão não usaremos a diferença de dois quadrados e sim  a diferença de dois cubos

• $\boxed{A^3-B^3=(A-B)\cdot(A^2+AB+B^2)}$

Onde $(\sqrt[3]{x+1} -1)$  pode ser escrito como $(A-B)$

$\sqrt[3]{x+1} \Rightarrow A\\\\1\Rightarrow B$

Então para termos a diferença  entre dois quadrados temos que multiplicar a função por $\left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x^2}\cdot 1^2 +1^2\right)$ em cima e embaixo

Então vamos lá

$\large\text{ \lim_{x\to0}\left(\frac{\sqrt{x+1} -1}{\sqrt[3]{x+1} -1}\right)\Rightarrow\lim_{x\to0}\left(\frac{\sqrt{x+1} -1}{\sqrt[3]{x+1} -1}\right)\cdot\frac{\left(\sqrt{x+1}+1 \right)\cdot\left(\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{x+1}\cdot 1 + 1^2 \right)}{\left(\sqrt{x+1}+1 \right)\cdot\left(\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{x+1}\cdot 1 + 1^2 \right)} }$

$\large\text{ \lim_{x\to0}\frac{\left(\sqrt{x+1}^2-1^2 \right)\cdot \left(\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{x+1}\cdot 1 + 1^2 \right)}{\left(\sqrt[3]{x+1} ^3-1^3 \right)\cdot\left(\sqrt{x+1}+1\right) } }$

Simplificando as raízes com seus expoentes e a multiplicação  com 1 temos

$\large\text{ \lim_{x\to0}\frac{\left(x+1-1\right)\cdot \left(\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{x+1} + 1 \right)}{\left(x+1-1 \right)\cdot\left(\sqrt{x+1}+1\right) } \Rightarrow \lim_{x\to0}\frac{\left(x\right)\cdot \left(\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{x+1} + 1 \right)}{\left(x \right)\cdot\left(\sqrt{x+1}+1\right) } }$

Perceba que temos a variável X em cima e embaixo  então podemos simplifica-las fazendo assim o limite não tender mais para uma indeterminação e assim podemos substituir X por 0

$\large\text{ \lim_{x\to0}\frac{\left(x\right)\cdot \left(\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{x+1} + 1 \right)}{\left(x \right)\cdot\left(\sqrt{x+1}+1\right) } \Rightarrow \lim_{x\to0}\frac{ \left(\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{x+1} + 1 \right)}{\left(\sqrt{x+1}+1\right) }\Rightarrow }$

$\large\text{ \frac{ \left(\sqrt[3]{(0+1)^2}+\sqrt[3]{0+1} + 1 \right)}{\left(\sqrt{0+1}+1\right) }\Rightarrow \frac{\sqrt[3]{1} +\sqrt[3]{1} +1}{\sqrt{1} +1} \Rightarrow \frac{1+1+1}{1+1} \Rightarrow \boxed{\dfrac{3}{2}} }$

Assim podemos concluir que  quando X tende a 0 a função tenderá a $\dfrac{3}{2}$

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