Question

Lista de exercícios de limites. UFRN
Professor Paulo Roberto

Questão 12 item 4)

Limite tendendo a zero de tangente(3x) /Seno(4x)

$\large\lim_{x\to0}\left(\frac{Tag(3x)}{Sen(4x)} \right)$

Answer 1

Utilizando propriedade trigonométricas de limites podemos concluir que quando X tende a 0 a função tende para

$\large\text{ \boxed{\boxed{\dfrac{3}{4}}} }$

Temos o seguinte Limite trigonométrico .

$\large\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{Tag(3x)}{Sen(4x)} \right)$

Perceba que substituirmos X por zero teremos uma indeterminação

$\large\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{Tag(3x)}{Sen(4x)} \right)\Rightarrow\left(\dfrac{Tag(0)}{Sen(0)} \right)\Rightarrow\dfrac{0}{0}?$

Então temos que usar alguma propriedade Para saber o valor de função ao tender a zero

Para isso usaremos o limite fundamental da trigonometria

$\large\text{ \boxed{\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{Sen(x)}{x}\right) =1} }$

Então vamos lá, primeiro vamos reescrever a tangente como a divisão do seno pelo cosseno

$\large\text{ \lim_{x\to 0}\left(\dfrac{Tag(3x)}{Sen(4x)} \right)\Rightarrow\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{\dfrac{Sen(3x)}{Cos(3x)} }{Sen(4x)} \right)\Rightarrow }$

$\large\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{Sen(3x)}{Sen(4x)\cdot Cos(3x)} \right)$

Usando propriedade de limites podemos separar esse limite em dois, para facilitar a conta

$\large\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{Sen(3x)}{Sen(4x)\cdot Cos(3x)} \right)\Rightarrow$

$\large\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{Sen(3x)}{Sen(4x)} \right)\cdot\lim_{x\to0}\left(\dfrac{1}{Cos(3x)} \right)\Rightarrow$

$\large\text{ \lim_{x\to 0}\left(\dfrac{Sen(3x)}{Sen(4x)} \cdot \dfrac{\frac{3x}{3x} }{\frac{4x}{4x} } \right)\cdot\left(\dfrac{1}{Cos(3\cdot 0)} \right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \lim_{x\to 0}\left(\dfrac{3x\cdot \frac{Sen(3x)}{3x} }{4x\cdot \frac{Sen(4x)}{4x} } \right)\cdot\left(\dfrac{1}{Cos(0)} \right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \lim_{x\to 0}\left(\dfrac{3x\cdot 1}{4x\cdot 1 } \right)\cdot1\right)\Rightarrow\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{3x}{4x} \right)\Rightarrow\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{3}{4} \right)\Rightarrow\boxed{\dfrac{3}{4}} }$

Assim podemos concluir que quando X tende a 0 a função tenderá para $\dfrac{3}{4}$

Vou anexar o gráfico da função, perceba que quando X chega a um valor bem próximo de zero a função tende a $\dfrac{3}{4}$

• $\boxed{\frac{3}{4} =0{,}75}$

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