Question

Lista de exercícios de limites. UFRN
Professor Paulo Roberto

Questão 11 item 5)

$\large\lim_{x\to \infty}\left(x-\sqrt[3]{2+3x^3} \right)$

Answer 1

Usando as propriedades dos limites tendendo ao infinito podemos concluir que quando X tende ao infinito a função vai para o

$\Large\text{ \boxed{\boxed{-\infty}} }$

Mas, como chegamos nessa respota?

Temos o seguinte limite

$\large\lim _{x\to \infty }\left(x-\sqrt[3]{2+3x^3}\right)$

Perceba que se substituirmos X por infinito teremos uma indeterminação

$\large\lim _{x\to \infty }\left(x-\sqrt[3]{2+3x^3}\right)\Rightarrow (\infty-\sqrt[3]{2+3\cdot \infty}\Rightarrow (\infty-\infty) ?$

Então temos que usar alguma propriedade matematica para fazer esse limite não dar uma indeterminação

Podemos usar a técnica de dividir todos os termos pelo maior grau da variável no  denominador. Mas, perceba que temos a variável X no denominador

Então vamos fazer manipulações para aparecer a variável

Podemos botar X em evidencia

$\large\text{ \lim _{x\to \infty }\left(x-\sqrt[3]{2+3x^3}\right)\Rightarrow\lim _{x\to \infty }x\cdot \left(1-\dfrac{\sqrt[3]{2+3x^3}}{x} \right) }$

Usando as propriedades dos limites podemos reescrever como

$\large\text{ \lim _{x\to \infty }\left(x\right)\cdot\left(\lim_{x\to \infty}(1) -\lim_{x\to \infty}\left(\dfrac{\sqrt[3]{2+3x^3}}{x} \right)\right) }$

Perceba que dos 3 limites que obtivermos só 1 gera indeterminação. então só precisamos resolver ele  e em seguida  faz as operações dos outro limites

$\large\text{ \lim _{x\to \infty }\left(x\right)\cdot\left(\lim_{x\to \infty}(1) -\lim_{x\to \infty}\left(\dfrac{\sqrt[3]{2+3x^3}}{x} \right)\right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \infty \cdot\left(1 -\lim_{x\to \infty}\left(\dfrac{\sqrt[3]{2+3x^3}}{x} \right)\right)\Rightarrow }$

Então vamos resolver o seguinte limite  isoladamente.

$\large\text{ \lim_{x\to \infty}\left(\dfrac{\sqrt[3]{2+3x^3} }{x} \right) }$

Como o maior grau do denominador é X vamos dividir todos os termos por X

Lembrando que  $X=\sqrt[3]{X^3}$

$\large\text{ \lim_{x\to \infty}\left(\dfrac{\sqrt[3]{2+3x^3} }{x} \right)\Rightarrow \lim_{x\to \infty}\left(\dfrac{\frac{\sqrt[3]{2+3x^3} }{x} }{\frac{x}{x} } \right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \lim_{x\to \infty}\left(\dfrac{\frac{\sqrt[3]{2+3x^3} }{\sqrt[3]{x^3} } }{\frac{x}{x} } \right)\Rightarrow\lim_{x\to \infty}\left(\dfrac{\sqrt[3]{\frac{2+3x^3}{x^3} } }{1} \right)\Rightarrow \lim_{x\to \infty}\left(\sqrt[3]{\frac{2+3x^3}{x^3} } \right) }$

$\large\text{ \lim_{x\to \infty}\left(\sqrt[3]{\dfrac{2+3x^3}{x^3} } \right)\Rightarrow\lim_{x\to \infty}\left(\sqrt[3]{\frac{2}{x^3} +\frac{3x^3}{x^3} } \right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \lim_{x\to \infty}\left(\sqrt[3]{\frac{2}{x^3} +\frac{3}{1} } \right)\Rightarrow }$

Perceba que se substituirmos X por infinito  a função n gerara indeterminação

$\large\text{ \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[3]{\frac{2}{x^3} +3} \right)\Rightarrow \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[3]{\frac{2}{\infty^3} +3} \right)\Rightarrow \left(\sqrt[3]{0 +3} \right)\Rightarrow \boxed{\sqrt[3]{3}} }$

Ou seja

$\large\text{ \lim_{x\to \infty}\left(\dfrac{\sqrt[3]{2+3x^3} }{x} \right)=\sqrt[3]{3} }$   Mas, lembre que isso so é uma parte do problema

Agora basta substituirmos

$\large\text{ \infty \cdot\left(1 -\lim_{x\to \infty}\left(\dfrac{\sqrt[3]{2+3x^3}}{x} \right)\right)\Rightarrow }\\\\\\\large\infty \cdot\left(1 -\sqrt[3]{3}\left) \Rightarrow\boxed{ -\infty}$

• Perceba que $(1-\sqrt[3]{3} )$ da um valor negativo  (aproximadamente $-0.44224\dots$ ) então quando multiplicamos um valor negativo ao infinito o resultado é um número negativo. Por isso a resposta é $-\infty$

Ou seja

$\large\lim _{x\to \infty }\left(x-\sqrt[3]{2+3x^3}\right)= -\infty$