Question

Lista de exercícios de limites. UFRN
Professor Paulo Roberto

Questão 3 item 5)

$\large\text{ \lim_{x\to-3^{-}}\left(\dfrac{\sqrt{|x+3|} }{x+3} \right) }$

Answer 1

Usando a técnica de racionalização do numerador e fatoração podemos concluir que quando X tende a menos 3 pela esquerda a função tenderá para

$\large\text{ \boxed{\boxed{-\infty}} }$

Mas, como chegamos nessa resposta?

$\large\text{ \lim_{x\to -3^{-}}\left(\dfrac{\sqrt{|x+3|} }{x+3} \right) }$

Perceba que temos um modulo no nosso limite, então precisamos usas propriedade de módulos

$|x+3|\Rightarrow x +3 ~Se~ X\geq -3\\\\|x+3|\Rightarrow -x-3 ~Se~ X < -3$

Olhando nosso problema veja que X tenderá a um valor menos que$-3$ ou seja temos que reescrever nosso limite

$\large\text{ \lim_{x\to -3^{-}}\left(\dfrac{\sqrt{|x+3|} }{x+3} \right)\Rightarrow\boxed{ \lim_{x\to -3^{-}}\left(\dfrac{\sqrt{-x-3} }{x+3} \right)} }$

Agora vamos analisar nosso problema, perceba que o que causa a indeterminação é a expressão $(X+3)$. Para sabermos disso basta usar a seguinte propriedade

$(X-L)$  é o termo que causa indeterminação, Sendo L o valor que o limite tende

$(X-L)\Rightarrow (X-(-3)\Rightarrow \boxed{(x+3)}$

Ou seja temos que simplificar a expressão $(X+3)$. Perceba que ela já aparece no denominador  vamos fazer ela aparecer no numerador racionando ele

$\large\text{ \lim_{x\to -3^{-}}\left(\dfrac{\sqrt{-x-3} }{x+3} \right)\Rightarrow \lim_{x\to -3^{-}}\left(\dfrac{\sqrt{-x-3} }{x+3} \right)\cdot \dfrac{\sqrt{-x-3}}{\sqrt{-x-3}} \Rightarrow }$

$\large\text{ \lim_{x\to -3^{-}}\left(\frac{\left(\sqrt{-x-3}\right)^2 }{\left(x+3\right)\cdot \left(\sqrt{-x-3} \right)} \right)\Rightarrow\lim_{x\to -3^{-}}\left(\frac{-3-x }{\left(x+3\right)\cdot \left(\sqrt{-x-3} \right)} \right)\Rightarrow }$

Perceba que mesmo racionalizando o denominador a expressão $(x+3)$ não apareceu, mas se colocarmos $(-3-x)$ com menos um em evidencia perceba que teremos a nossa expressão desejada

Ai podemos simplificar  $(x+3)$ do numerador com o denominador e assim substituir X. já que não teremos indeterminação

$\large\text{ \lim_{x\to -3^{-}}\left(\frac{-3-x }{\left(x+3\right)\cdot \left(\sqrt{-x-3} \right)} \right)\Rightarrow \lim_{x\to -3^{-}}\left(\frac{-1\cdot (x+3) }{\left(x+3\right)\cdot \left(\sqrt{-x-3} \right)} \right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \boxed{\lim_{x\to -3^{-}}\left(\frac{-1 }{\left(\sqrt{-x-3} \right)} \right)} }$

Para ficar mais fácil de analisar vamos substituir X por $-3{,}1$ é ver se a função tende a um valor positivo ou negativo, se der negativo a função tenderá para $-\infty$ se der positivo a função tenderá  para $\infty$

$\large\text{ {\lim_{x\to -3^{-}}\left(\frac{-1 }{\left(\sqrt{-x-3} \right)} \right)}\Rightarrow \left(\frac{-1}{\sqrt{-(-3{,}1)-3} } \right)\Rightarrow \dfrac{-1}{\sqrt{3{,}1-3} }\Rightarrow }$

$\large\text{ \dfrac{-1}{\sqrt{0{,}1} } }$

Como temos um valor negativo no numerador e positivo no denominador a  função tenderá a um valor negativo, ou seja quando X tender a um valor a esquerda de $-3{,}1$ menor será o  valor da função, crescendo infinitamente para baixo

Então concluímos que

$\large\text{ \lim_{x\to -3^{-}}\left(\dfrac{\sqrt{|x+3|} }{x+3} \right)= -\infty }$