Question

Lista de exercícios de limites. UFRN
Professor Paulo Roberto

Questão 1 item 12)

$\large\text{ \lim_{x\to p}\left(\dfrac{\sqrt[4]{x} -\sqrt[4]{p} }{\sqrt[7]{x} -\sqrt[7]{p} } \right) }$

Answer 1

Usando produtos notáveis podemos concluir  que quando X tende a P a função tenderá para

$\large\text{ \boxed{\boxed{\frac{7\sqrt[7]{p^6} }{4\sqrt[4]{p^3} } }} }$

Mas, como chegamos nessa reposta?

Temos o seguinte limite

$\large\text{ \lim _{x\to p}\left(\dfrac{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{p}}{\sqrt[7]{x}-\sqrt[7]{p}}\right) }$

Perceba que se substituirmos X por P a função tenderá para uma indeterminação

$\large\text{ \lim _{x\to p}\left(\dfrac{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{p}}{\sqrt[7]{x}-\sqrt[7]{p}}\right)\Rightarrow \lim _{x\to p}\left(\dfrac{\sqrt[4]{p}-\sqrt[4]{p}}{\sqrt[7]{p}-\sqrt[7]{p}}\right)\Rightarrow \dfrac{0}{0}? }$

Então temos que usar alguma propriedade matemática que faça essa função não tender a uma indeterminação

Para isso vamos usar os produtos notáveis

Perceba que seria interessante tirarmos as raízes do numerador e do numerador

Perceba que a raiz do numerador está  com índice 4 então temos que elevar os termos do numerador a quatro. E no denominador temos as raízes com índice 7 então temos que elevar elas a 7

• Produto notável da diferença de dois números elevado a 4

$\boxed{a^4-b^4=(a-b)\cdot (a^3+a^2b+ab^2+b^3)}$

• Produto notável da diferença de dois números elevado a 7

$\boxed{a^7-b^7=(a-b)\cdot (a^6+a^5b+a^4b^2+a^3b^3+a^2b^4+ab^5+b^6)}$

Com isso em mente vamos resolver a questão

Vamos primeiro resolver o numerador. Vamos chamar $(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{p} )$ de $(a-b)$ e então multiplicar por  $(a^3+a^2b+ab^2+b^3)$ para assim termos $(\sqrt[4]{x})^4- (\sqrt[4]{p} )^4$ mas temos que fazer isso em cima e embaixo da função para não alterar a função original

$\large\text{ \lim _{x\to p}\left(\frac{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{p}}{\sqrt[7]{x}-\sqrt[7]{p}}\right)\Rightarrow\lim _{x\to p}\left(\frac{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{p}}{\sqrt[7]{x}-\sqrt[7]{p}}\right)\cdot \frac{ \left(\sqrt[4]{x^3} +\sqrt[4]{x^2}\cdot\sqrt[4]{p} +\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{p^2} +\sqrt[4]{p^3} \right)}{ \left(\sqrt[4]{x^3} +\sqrt[4]{x^2}\cdot\sqrt[4]{p} +\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{p^2} +\sqrt[4]{p^3} \right)} }$

$\large\text{ \lim _{x\to p}\left(\frac{\sqrt[4]{x^4}-\sqrt[4]{p^4}}{\left(\sqrt[7]{x}-\sqrt[7]{p}\right)\cdot \left(\sqrt[4]{x^3} +\sqrt[4]{x^2}\cdot\sqrt[4]{p} +\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{p^2} +\sqrt[4]{p^3} \right)}\right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \lim _{x\to p}\left(\frac{x-p}{\left(\sqrt[7]{x}-\sqrt[7]{p}\right)\cdot \left(\sqrt[4]{x^3} +\sqrt[4]{x^2}\cdot\sqrt[4]{p} +\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{p^2} +\sqrt[4]{p^3} \right)}\right)\Rightarrow }$

Agora que apareceu X-P no numerador vamos fazer o produto notável da diferença de dois números elevado a 7 do Denominador e assim conseguiremos simplificar o  X-P em cima com o  X-P  de baixo

$(a^6+a^5b+a^4b^2+a^3b^3+a^2b^4+ab^5+b^6)\Rightarrow(\sqrt[7]{x^6} +\sqrt[7]{x^5} \cdot \sqrt[7]{p} +\sqrt[7]{x^4}\cdot \sqrt[7]{p^2} +\sqrt[7]{x^3}\cdot \sqrt[7]{p^3} +\sqrt[7]{x^2} \cdot \sqrt[7]{p^4} +\sqrt[7]{x}\cdot \sqrt[7]{p^5} +\sqrt[7]{p^6} )$

$\large\text{ \lim _{x\to p}\left(\frac{x-p}{\left(\sqrt[7]{x}-\sqrt[7]{p}\right)\cdot \left(\sqrt[4]{x^3} +\sqrt[4]{x^2}\cdot\sqrt[4]{p} +\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{p^2} +\sqrt[4]{p^3} \right)}\right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \lim _{x\to p}\left(\frac{x-p}{\left(\sqrt[7]{x}-\sqrt[7]{p}\right)\cdot \left(\sqrt[4]{x^3} +\sqrt[4]{x^2}\cdot\sqrt[4]{p} +\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{p^2} +\sqrt[4]{p^3} \right)}\right)\times }$

$\dfrac{(\sqrt[7]{x^6} +\sqrt[7]{x^5} \cdot \sqrt[7]{p} +\sqrt[7]{x^4}\cdot \sqrt[7]{p^2} +\sqrt[7]{x^3}\cdot \sqrt[7]{p^3} +\sqrt[7]{x^2} \cdot \sqrt[7]{p^4} +\sqrt[7]{x}\cdot \sqrt[7]{p^5} +\sqrt[7]{p^6} )}{(\sqrt[7]{x^6} +\sqrt[7]{x^5} \cdot \sqrt[7]{p} +\sqrt[7]{x^4}\cdot \sqrt[7]{p^2} +\sqrt[7]{x^3}\cdot \sqrt[7]{p^3} +\sqrt[7]{x^2} \cdot \sqrt[7]{p^4} +\sqrt[7]{x}\cdot \sqrt[7]{p^5} +\sqrt[7]{p^6} )}$

$\large\text{ \lim _{x\to p}\left(\frac{(\sqrt[7]{x^6} +\sqrt[7]{x^5} \cdot \sqrt[7]{p} +\sqrt[7]{x^4}\cdot \sqrt[7]{p^2} +\sqrt[7]{x^3}\cdot \sqrt[7]{p^3} +\sqrt[7]{x^2} \cdot \sqrt[7]{p^4} +\sqrt[7]{x}\cdot \sqrt[7]{p^5} +\sqrt[7]{p^6} )}{ \left(\sqrt[4]{x^3} +\sqrt[4]{x^2}\cdot\sqrt[4]{p} +\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{p^2} +\sqrt[4]{p^3} \right)}\right) }$

Agora perceba que temos mais indeterminação na função basta substituirmos X por P

Mas, Antes de começarmos perceba que no numerador ficará todos os termos elevados a mesma fração que é  $\large\text{ \boxed{p^{\frac{6}{7} }} }$  que é a mesma coisa de $\sqrt[7]{p^6}$

e no denominador teremos $\large\text{ \boxed{p^{\frac{3}{4} }} }$ que é a mesma coisa de $\sqrt[4]{p^3}$

$\large\text{ \lim _{x\to p}\left(\frac{(\sqrt[7]{x^6} +\sqrt[7]{x^5} \cdot \sqrt[7]{p} +\sqrt[7]{x^4}\cdot \sqrt[7]{p^2} +\sqrt[7]{x^3}\cdot \sqrt[7]{p^3} +\sqrt[7]{x^2} \cdot \sqrt[7]{p^4} +\sqrt[7]{x}\cdot \sqrt[7]{p^5} +\sqrt[7]{p^6} )}{ \left(\sqrt[4]{x^3} +\sqrt[4]{x^2}\cdot\sqrt[4]{p} +\sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{p^2} +\sqrt[4]{p^3} \right)}\right) }$

$\large\text{ \left(\frac{(\sqrt[7]{p^6} +\sqrt[7]{p^5} \cdot \sqrt[7]{p} +\sqrt[7]{p^4}\cdot \sqrt[7]{p^2} +\sqrt[7]{p^3}\cdot \sqrt[7]{p^3} +\sqrt[7]{p^2} \cdot \sqrt[7]{p^4} +\sqrt[7]{p}\cdot \sqrt[7]{p^5} +\sqrt[7]{p^6} )}{ \left(\sqrt[4]{p^3} +\sqrt[4]{p^2}\cdot\sqrt[4]{p} +\sqrt[4]{p} \cdot \sqrt[4]{p^2} +\sqrt[4]{p^3} \right)}\right) \Rightarrow }$

$\large\text{ \left(\frac{(\sqrt[7]{p^6} +\sqrt[7]{p^6} +\sqrt[7]{p^6} +\sqrt[7]{p^6} +\sqrt[7]{p^6} +\sqrt[7]{p^6} +\sqrt[7]{p^6} )}{ \left(\sqrt[4]{p^3} +\sqrt[4]{p^3} +\sqrt[4]{p^3} +\sqrt[4]{p^3} \right)}\right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \boxed{\dfrac{7 \cdot \sqrt[7]{p^6}}{ 4\cdot \sqrt[4]{p^3} }} }$

Assim concluímos que quando X tende para P a função tenderá para

$\large\text{ \boxed{\dfrac{7 \cdot \sqrt[7]{p^6}}{ 4\cdot \sqrt[4]{p^3} }} }$

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