Matemática, perguntado por JPLSoares, 5 meses atrás

Lista de exercícios de limites. UFRN

Professor Paulo Roberto

Questão 1 item 6)

\large\text{$\lim_{x\to p}\left(\dfrac{x^n-p^n}{x-p}\right) $}

Soluções para a tarefa

Respondido por Sban1
5

Usando a diferença de dois termos elevados a uma constante qualquer Podemos concluir que quando X tende a P a função tenderá para

\Large\text{$\boxed{\boxed{n\cdot p^{n-1}}}$}

Mas, como chegamos nessa valor ?

Temos o seguinte limite

\large\text{$\lim _{x\to p}\left(\dfrac{x^n-p^n}{x-p}\right)$}

Perceba que quando X tende P a função resultará em uma indeterminação

\large\text{$\lim _{x\to p}\left(\dfrac{x^n-p^n}{x-p}\right)\Rightarrow \left(\dfrac{p^n-p^n}{p-p}\right)\rightarrow\dfrac{0}{0} ?$}

Então temos que usar alguma propriedade matemática que faça essa função não tender a uma indeterminação

Para isso vamos usar o produto notável da diferença de dois termos elevados ao mesmo expoente

Veja os exemplos a seguir

(a^1-b^1)=(a^1-b^1)\\\\(a^2-b^2)=(a-b)\cdot (a^1+b^1)\\\\(a^3-b^3)=(a-b)\cdot (a^2+a^1 b^1+b^2)\\\\(a^4-b^4)=(a-b)\cdot (a^3+a^2b^1+a^1b^2+b^3)\\\\(a^5-b^5)=\left(a-b\right)\cdot \left(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4\right)

Logo por indução podemos concluir que

\boxed{(a^n-b^n)=\left(a-b\right)\cdot \left(a^{n-1}+a^{n-2}b+.~.~.~+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)}

Agora com isso em mente, vamos resolver o nosso limite

Lembrando que o A do produto notavel será o X da questão e o B será o P da questão

\large\text{$\lim _{x\to p}\left(\frac{x^n-p^n}{x-p}\right)\Rightarrow \lim _{x\to p}\left(\frac{(x-p) \cdot\left(x^{n-1}+x^{n-2}p+.~.~.~+xp^{n-2}+p^{n-1}\right)}{x-p}\right)\Rightarrow $}\\\\

Simplificando o X-P do numerador com o denominador temos

\large\text{$ \lim _{x\to p}\left(\frac{(x-p) \cdot\left(x^{n-1}+x^{n-2}p+.~.~.~+xp^{n-2}+p^{n-1}\right)}{x-p}\right)\Rightarrow   $}\\\\

\large\text{$\lim_{x\to p}\left(x^{n-1}+x^{x-1}p+.~.~.~+x\cdotp^{n-2}p+p^{n-1}\right)$}

Agora basta substituirmos X por P na função e ver o resultado

\large\text{$\lim_{x\to p}\left(x^{n-1}+x^{x-1}p+.~.~.~+x\cdotp^{n-2}p+p^{n-1}\right)$}

\large\text{$\left(p^{n-1}+p^{n-1}p+.~.~.~+p\cdotp^{n-2}p+p^{n-1}\right)$}

  • Podemos simplificar pois é uma soma de multiplicações com a mesma base

  • Lembre-se da propriedade  \boxed{a^b\cdot a^c=a^{b+c}}

\large\text{$\left(p^{n-1}+p^{n-2}p+.~.~.~+pp^{n-2}+p^{n-1}\right)$}\\\\\\\large\text{$\left(p^{n-1}+p^{n-2}p^1+.~.~.~+p^1p^{n-2}+p^{n-1}\right)$}\\\\\\\large\text{$\left(p^{n-1}+p^{n-2+1}+.~.~.~+p^{n-2+1}+p^{n-1}\right)$}\\\\\\\large\text{$\left(p^{n-1}+p^{n-1}+.~.~.~+p^{n-1}+p^{n-1}\right)$}\\\\\\\large\text{$\boxed{\left(n\cdot p^{n-1}\right)}$}

Assim podemos concluir que quando X tende a P a função tenderá para

\boxed{n\cdot p^{n-1}}

Anexos:

MiguelCyber: topp!!
Sban1: Obg Miguel!
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