Question

Lista de exercícios de limites contínuos

Resolva o seguinte limite abaixo

1F)

$\Large\text{ \lim_{h\to0}\left(\dfrac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x} }{h} \right) }$

Answer 1

Usando produtos notáveis podemos concluir que  quando H tende a 0 a função tende para

$\Large\text{ \boxed{\boxed{\dfrac{1}{2\sqrt{x} }}} }$

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos o seguinte limite

$\large\text{ \lim_{h\to0}\left(\dfrac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x} }{h} \right) }$

Perceba que quando H tende a 0 a função gera uma indeterminação

$\large\text{ \lim_{h\to0}\left(\dfrac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x} }{h} \right)\Rightarrow\lim_{h\to0}\left(\dfrac{\sqrt{x+0}-\sqrt{x} }{0} \right)\Rightarrow\dfrac{\sqrt{x} -\sqrt{x} }{0} }$

$\large\dfrac{0}{0}$

Então temos que usar alguma propriedade matemática para fazer que a função não tenda a uma indeterminação,  então vamos usar nosso velho amigo, os produtos notáveis

Vamos usar o produto notável da diferença de dois quadrados

• $\boxed{(A^2-B^2)=(A+B)\cdot (A-B)}$

Podemos reescrever $(\sqrt{x+h} -\sqrt{x} )$ como  $(A-B)$ e para termos a diferença de dois quadrados  temos que multiplicar toda a função por $(A+B)$

$\boxed{(A+B)\Rightarrow (\sqrt{x+h} +\sqrt{x} )}$

Enão vamos lá

$\large\text{ \lim_{h\to0}\left(\dfrac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x} }{h} \right)\Rightarrow \lim_{h\to0}\left(\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x} }{h} \right)\cdot \left(\frac{\sqrt{x+h} +\sqrt{x} }{\sqrt{x+h} +\sqrt{x} } \right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \lim_{h\to0}\left(\dfrac{\left(\sqrt{x+h}\right)^2-\left(\sqrt{x}\right)^2 }{h\cdot \left(\sqrt{x+h} +\sqrt{x} \right)} \right)\Rightarrow \lim_{h\to0}\left(\dfrac{x+h-x }{h\cdot \left(\sqrt{x+h} +\sqrt{x} \right)} \right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \lim_{h\to0}\left(\dfrac{h }{h\cdot \left(\sqrt{x+h} +\sqrt{x} \right)} \right) }$

Perceba que Temos a variável H em cima e embaixo então podemos  simplificar  essas expressões e substituir H por 0, porque não há mais indeterminação

$\large\text{ \lim_{h\to0}\left(\dfrac{h }{h\cdot \left(\sqrt{x+h} +\sqrt{x} \right)} \right)\Rightarrow\lim_{h\to0}\left(\dfrac{1 }{\left(\sqrt{x+h} +\sqrt{x} \right)} \right)\Rightarrow }$

$\large\text{ \left(\dfrac{1 }{\left(\sqrt{x+0} +\sqrt{x} \right)} \right)\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{x} +\sqrt{x} }\Rightarrow \boxed{\dfrac{1}{2\sqrt{x} } } }$

Então podemos concluir que  quando H tende a 0 a função tenderá para $\boxed{\dfrac{1}{2\sqrt{x} } }$

A titulo de curiosidade esse limite é a definição da derivada $\sqrt{x}$

Veja mais questões parecida para aprender melhor:

brainly.com.br/tarefa/53959465

brainly.com.br/tarefa/53941742

brainly.com.br/tarefa/3838426

brainly.com.br/tarefa/3852287

brainly.com.br/tarefa/53937188