Question

Lista 02 1. (IFG-GO) Considere os dois pontos do plano cartesiano A = (3,1) e B = (1, 3) e analise as seguintes afirmativas: I. O Ponto A é o simétrico do ponto B, em relação reta y = 21. II. O ponto médio do segmento determinado por A e B é M = (2,2). III. A mediatriz do segmento definido por A e B é a reta y = z (medi- atriz é uma reta perpendicular a um segmento de reta e que passa pelo ponto médio deste segmento). IV. A área do triângulo determinado por A, B e C, em que C = (3,3), é 2 unidades de área. E correto afirmar que: a) Apenas a afirmativa I é verdadeira. b) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. c) Apenas as afirmativas II, III e IV são verdadeiras. d) Apenas as afirmativas I, III e IV são verdadeiras. e) Todas as afirmativas são verdadeiras.
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Answer 1

II. O ponto médio do segmento determinado por A e B é M = (2,2) → (Verdadeiro)

III. A mediatriz do segmento definido por A e B é a reta y = x (mediatriz é uma reta perpendicular a um segmento de reta e que passa pelo ponto médio deste segmento) → (Verdadeiro)

IV. A área do triângulo determinado por A, B e C, em que C = (3,3), é 2 unidades de área → (Verdadeiro)

c) Apenas as afirmativas II, III e IV são verdadeiras

Geometria Analitica

I. O Ponto A é o simétrico do ponto B, em relação reta y = 2x → (Falso)

Dois pontos A e B são simétricos quando são equidistantes ao um eixo de simetria.

II. O ponto médio do segmento determinado por A e B é M = (2,2) → (Verdadeiro)

O ponto médio é calculado da seguinte forma, dado dois pontos A(xa, ya) e B(xb, yb) os pontos médios são:

Xm = (Xa + Xb)/2 e Ym = (Ya + Yb)/2

Então,

Xm = (3+1)/2 = 4/2 = 2

Ym = (1+3)/2 = 4/2 = 2

M = (2,2)

III. A mediatriz do segmento definido por A e B é a reta y = x (mediatriz é uma reta perpendicular a um segmento de reta e que passa pelo ponto médio deste segmento) → (Verdadeiro)

Para verificar se a reta r: y = x é mediatriz, devemos primeiramente encontrar a equação da reta que passar pelos pontos A e B.

Reta que passa por A e B → s: y = -x + 8

A definição de perpendicularidade entre retas é: Mr . Ms = -1

Mr = 1 e Ms = -1

temos, 1 . (-1) = -1

IV. A área do triângulo determinado por A, B e C, em que C = (3,3), é 2 unidades de área

Calculamos a área de um triângulo fazendo a o módulo do determinante dos pontos sobre 2

$DetA=\left[\begin{array}{ccc}3&1&1\\1&3&1\\3&3&1\end{array}\right]=-4$

$A = \frac{|DetA|}{2} = \frac{|-4|}{2} = 2$

Portanto, c) Apenas as afirmativas II, III e IV são verdadeiras

Espero ter ajudado!

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