Question

Limx->1 ,,,, 2x³ +x²-4x+1/ x³-3x²+5x-3

Answer 1

Podemos encontrar o limite de duas maneiras:

1ª maneira)

Vejamos o que ocorre com a expressão do limite quando x=1:

$\dfrac{2x^3+x^2-4x+1}{x^3-3x^2+5x-3}=\dfrac{2\cdot1^3+1^2-4\cdot1+1}{1^3-3\cdot1^2+5\cdot1-3}=\dfrac{2\cdot1+1-4+1}{1-3\cdot1+5-3}\\\\ \dfrac{2x^3+x^2-4x+1}{x^3-3x^2+5x-3}=\dfrac{2+1-4+1}{1-3+5-3}=\dfrac{0}{0}$

Assim, temos uma indeterminação do tipo 0/0 e podemos aplicar a Regra de L'Hôpital:

$\lim_{x \to 1}\dfrac{2x^3+x^2-4x+1}{x^3-3x^2+5x-3}=\lim_{x \to 1}\dfrac{2\cdot3x^2+2x-4}{3x^2-3\cdot2x+5}=\\\\ =\lim_{x \to 1}\dfrac{6x^2+2x-4}{3x^2-6x+5}$

Agora não há mais indeterminação e podemos simplesmente substituir na expressão do limite o valor para o qual x está tendendo:

$\lim_{x \to 1}\dfrac{2x^3+x^2-4x+1}{x^3-3x^2+5x-3}=\lim_{x \to 1}\dfrac{6x^2+2x-4}{3x^2-6x+5}\\\\ \lim_{x \to 1}\dfrac{2x^3+x^2-4x+1}{x^3-3x^2+5x-3}=\dfrac{6\cdot1^2+2\cdot1-4}{3\cdot1^2-6\cdot1+5}\\\\ \lim_{x \to 1}\dfrac{2x^3+x^2-4x+1}{x^3-3x^2+5x-3}=\dfrac{6\cdot1+2-4}{3\cdot1-6+5}\\\\ \lim_{x \to 1}\dfrac{2x^3+x^2-4x+1}{x^3-3x^2+5x-3}=\dfrac{6+2-4}{3-6+5}\\\\ \lim_{x \to 1}\dfrac{2x^3+x^2-4x+1}{x^3-3x^2+5x-3}=\dfrac{4}{2}\\\\ \boxed{\lim_{x \to 1}\dfrac{2x^3+x^2-4x+1}{x^3-3x^2+5x-3}=2}$

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2ª maneira)

Como vimos acima, quando fazemos x=1 na expressão do limite, o numerador e o denominador se anulam. Portanto, 1 é raiz dos polinômios que aparecem na fração. Assim, vamos fatorá-los:

$\text{Para }2x^3+x^2-4x+1:\\\\ \begin{matrix}&2&1&-4&1\\1&2&3&-1&0\end{matrix}\\\\\\ 2x^3+x^2-4x+1=(x-1)(2x^2+3x-1)\\\\\\ \text{Para } x^3-3x^2+5x-3:\\\\ \begin{matrix}&1&-3&5&-3\\1&1&-2&3&0\end{matrix}\\\\\\ x^3-3x^2+5x-3=(x-1)(x^2-2x+3)$

Então:

$\lim_{x \to 1}\dfrac{2x^3+x^2-4x+1}{x^3-3x^2+5x-3}=\lim_{x \to 1}\dfrac{(x-1)(2x^2+3x-1)}{(x-1)(x^2-2x+3)}\\\\ \lim_{x \to 1}\dfrac{2x^3+x^2-4x+1}{x^3-3x^2+5x-3}=\lim_{x \to 1}\dfrac{2x^2+3x-1}{x^2-2x+3}$

Veja que não há indeterminação na expressão do limite, logo podemos substituir diretamente o valor para o qual x está tendendo:

$\lim_{x \to 1}\dfrac{2x^3+x^2-4x+1}{x^3-3x^2+5x-3}=\lim_{x \to 1}\dfrac{2x^2+3x-1}{x^2-2x+3}\\\\ \lim_{x \to 1}\dfrac{2x^3+x^2-4x+1}{x^3-3x^2+5x-3}=\dfrac{2\cdot1^2+3\cdot1-1}{1^2-2\cdot1+3}\\\\ \lim_{x \to 1}\dfrac{2x^3+x^2-4x+1}{x^3-3x^2+5x-3}=\dfrac{2+3-1}{1-2+3}\\\\ \lim_{x \to 1}\dfrac{2x^3+x^2-4x+1}{x^3-3x^2+5x-3}=\dfrac{4}{2}\\\\ \boxed{\lim_{x \to 1}\dfrac{2x^3+x^2-4x+1}{x^3-3x^2+5x-3}=2}$