Matemática, perguntado por ismael500rocha, 4 meses atrás

Limx->0 sen(5x)/sen(9x)

Soluções para a tarefa

Respondido por Nitoryu

A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que realizaremos, é possível confirmar que o valor deste limite é igual a 5/9.

A noção de limites refere-se em termos coloquiais ao que nossa intuição nos leva: é o que podemos abordar enquanto quisermos.

O limite é uma noção muito importante no cálculo matemático. Fundamental para áreas, continuidade, assíntotas, convergência, derivadas ou integrais. No limite de uma função, as chaves são a variável x e os diferentes valores que a função f(x) adquire.

Como sabemos no conceito de limites eles podem assumir valores indeterminados (impossíveis de calcular ou estimar), alguns valores indeterminados dos limites são:

$\displaystyle\sf \dfrac{0}{0},~\dfrac{\infty}{\infty},~ 1^{\infty},~ 0^0$

Para evitar esses valores indeterminados nos limites, propriedades e regras que estes possuem devem ser aplicadas. Para limites trigonométricos que possuem a função seno de x sobre x tendo 0, a seguinte propriedade pode ser aplicada:

$\sf\boxed{\bf\lim_{x\to 0}\dfrac{sen(x)}{x}=1}$

Da mesma forma, para o limite de x sobre o seno de x tendo 0, a propriedade pode ser aplicada:

$\sf\boxed{\bf\lim_{x\to 0}\dfrac{x}{sen(x)}=1}$

Da mesma forma, para esta classe de limites é possível aplicar a regra de L'Hospital, esta regra consiste em derivar o denominador e o numerador de uma função para não obter um valor não indeterminado.

Temos o seguinte limite:

$\displaystyle \sf \lim _ {x\to0}\dfrac{sen(5x)}{sen(9x)}$

Para resolver este limite podemos aplicar as propriedades mencionadas anteriormente. Se compararmos essas propriedades com nosso limite vemos que elas não são nada parecidas, então para que tenham algo parecido podemos separar o limite da forma:

$\displaystyle \sf \lim _ {x\to0}\dfrac{sen(5x)}{1}\cdot \dfrac{1}{sen(9x)}$

Vemos que ao multiplicar ambas as frações obteremos a mesma função. Mas podemos notar que em nossa propriedade o seno deve estar em cima da variável x ou a variável x em cima dela. Vamos multiplicar todos os números 1 pela variável x:

$\displaystyle \sf \lim _ {x\to0}\dfrac{sen(5x)}{x}\cdot \dfrac{x}{sen(9x)}$

Se repararem bem vemos que os nossos limites são um pouco semelhantes aos limites das nossas propriedades mas aparentemente nesta propriedade não existe um número que esteja a multiplicar a variável "x" dentro do seno, mas não será possível eliminar este número que está multiplicando "x" dentro do seno.

Obter um limite que seja equivalente à propriedade é multiplicar o número que multiplica a variável "x" dentro do seno pela outra variável "x" que não está dentro dele.

Fazendo isso obtemos o limite:

$\displaystyle \sf \lim _ {x\to0}\dfrac{sen(5x)}{5x}\cdot \dfrac{9x}{sen(9x)}$

Feito isso, não obtivemos o mesmo limite que tínhamos anteriormente, portanto, para não alterar esse limite, podemos adicionar esse mesmo número multiplicando à função seno. Fazendo isso você obtém:

$\displaystyle \sf \lim _ {x\to0}\dfrac{5sen(5x)}{5x}\cdot \dfrac{9x}{9sen(9x)}$

Este limite pode ser escrito como uma multiplicação de dois limites.

$\displaystyle \sf \lim _ {x\to0}\dfrac{5sen(5x)}{5x}\cdot\lim _ {x\to0} \dfrac{9x}{9sen(9x)}$

Qualquer número que não multiplique uma variável "x" será considerado uma constante e poderá ser retirado do limite, fazendo isso obtemos:

$\displaystyle \sf 5~\underbrace{\lim _ {x\to0}\dfrac{sen(5x)}{5x}}_{\bf 1}\cdot\dfrac{1}{9}~\overbrace{\lim _ {x\to0} \dfrac{9x}{sen(9x)}}^{\bf 1}\\\\ \displaystyle \boxed{\sf \lim _ {x\to0}\dfrac{sen(5x)}{sen(9x)}=5 \cdot 1\cdot \dfrac{1}{9}\cdot 1}~~\Longrightarrow ~~ \boxed{ \sf\lim _ {x\to0}\dfrac{sen(5x)}{sen(9x)}=\dfrac{5}{9}}$