Question

Limites, por favor expliquem bem!

$\lim_{x\to \ \frac{1}{2} } \sqrt{ \frac{2 x^{2}+5x-3 }{2 x^{2}-5x+2 } }$

Answer 1

$\lim_{x \to \frac{1}{2} } \sqrt{ \frac{2x^2+5x-3}{2x^2-5x+2} }$

Primeiro passo é verificar se temos uma indeterminação :
$\lim_{x \to \frac{1}{2} } \sqrt{ \frac{2x^2+5x-3}{2x^2-5x+2} } \\ \\ \lim_{x \to \frac{1}{2} } \frac{\sqrt{2( \frac{1}{2} )^2+5( \frac{1}{2} )-3}}{ \sqrt{2( \frac{1}{2} )^2-5( \frac{1}{2} )+2} } \\ \\ \lim_{x \to \frac{1}{2} } \frac{\sqrt{\frac{1}{2}+ \frac{5}{2}-3}}{ \sqrt{\frac{1}{2}- \frac{5}{2} +2} } \\ \\ \lim_{x \to \frac{1}{2} } \frac{\sqrt{0}}{ \sqrt{0} } \\ \\ \lim_{x \to \frac{1}{2} } \frac{0}{0}$

Portanto devemos encontrar o termo que está dando essa indeterminação. 
Nesse caso , tanto no numerador quanto no denominador devemos encontrar as raízes das equações do segundo grau. 
2x²+5x-3    raízes ( x' = 1/2   e x"= -3)
2x²-5x+2    raízes ( x'=1/2    e   x"=2)

Sabemos que uma expressão do segundo grau pode ser reescrita da seguinte forma:
a(x-x')(x-x"). 
Vamos reescrever as duas equações nesse modelo:
2x²+5x-3   = >     2(x-1/2)(x+3)
2x²-5x+2   =>      2(x-1/2)(x-2)

Portanto vamos reescrever o limite nesse formato:

$\lim_{x \to \frac{1}{2} } \sqrt{ \frac{2x^2+5x-3}{2x^2-5x+2} } \\ \\ \lim_{x \to \frac{1}{2} } \sqrt{ \frac{2(x- \frac{1}{2} )(x+3)}{2(x- \frac{1}{2} )(x-2)} }$
Percebemos que  2(x-1/2) era o termo que estava dando nossa indeterminação. Cancelando os termos fica:
$\lim_{x \to \frac{1}{2} } \sqrt{ \frac{(x+3)}{(x-2)} }$

Agora que cancelamos, basta substituir o valor para qual x está tendendo (1/2):

$\lim_{x \to \frac{1}{2} } \sqrt{ \frac{ \frac{1}{2} +3}{( \frac{1}{2} )-2} } \\ \\ \lim_{x \to \frac{1}{2} } \sqrt{ \frac{ \frac{7}{2}}{-\frac{3}{2}} } \\ \\ \lim_{x \to \frac{1}{2} } \sqrt{ \frac{7}{2}. -\frac{-2}{3} } = \sqrt{ \frac{-7}{3} } = i \sqrt{ \frac{7}{3} }$