Question

Limites Matematica, calcule o resultado dos limites

Answer 1

Item a):

$\boxed{ \sf \lim_{x \rightarrow25} \frac{5 - \sqrt{x} }{25 - x} }$

Vamos substituir o valor a qual o "x" tende no local de "x", só para observarmos uma coisa:

$\sf \frac{5 - \sqrt{x} }{25 - x} = \frac{5 - \sqrt{25} }{25 - 25} = \frac{5 - 5}{0} = \boxed{\sf \frac{0}{0}}$

• Como você pode notar, o valor resultante foi uma indeterminação do tipo 0/0, para que tal indeterminação suma, temos que fazer algumas manipulações algébricas para que termos possa ser cancelados e consequentemente a indeterminação.

Para sumir com essa indeterminação, vamos multiplicar o numerador e denominador dessa expressão, pelo conjugado do numerador, pois com isso vamos cancelar aquela raiz.

$\sf \frac{5 - \sqrt{x} }{25 - x} = \frac{5 - \sqrt{x} }{25 - x} . \frac{5 + \sqrt{x} }{5 + \sqrt{x} } = \\ \\ = \sf \frac{5.5 + 5 \sqrt{x} - 5 \sqrt{x} - \sqrt{x}. \sqrt{x} }{(25 - x).(5 + \sqrt{x} )} = \\ \\ = \sf \frac{ \cancel{25 - x}}{ \cancel{(25 - x})(5 + \sqrt{x}) } = \\ \\ = \sf \frac{1}{5 + \sqrt{x} }$

Agora vamos substituir o valor a qual o "x" tende:

$\sf \frac{1}{5 + \sqrt{x} } = \frac{1}{5 + \sqrt{25} } = \frac{1}{10} \\ \\ \sf portanto: \\ \\ \boxed{ \sf \lim_{x \rightarrow25} \frac{5 - \sqrt{x} }{25 - x} = \frac{1}{10} }$

Item b):

$\boxed{ \sf \lim_{x \rightarrow0} \frac{3}{x} .( \frac{1}{5 + x} - \frac{1}{5 - x} ) }$

• Como sempre, devemos fazer uma verificação para observar se há ou não Indeterminação nesse limite.

$\sf\frac{3}{x}( \frac{1}{5 + x} - \frac{1}{5 - x} )=\frac{3}{0}.(\frac{1}{5+0}-\frac{1}{5-0})=\\\\\sf=\frac{3}{0}(\frac{1}{5}-\frac{1}{5})=\frac{3}{0}(0) = \frac{3.0}{0}=\frac{0}{0}$

De fato resultou em uma indeterminação, ou seja, já sabemos o que fazer (manipulação algébrica). Primeiro, vamos resolver aquela expressão que se encontra dentro do parêntese:

$\sf \frac{1}{5 + x} - \frac{1}{5 - x} = \frac{1.(5 - x) - (5 + x).1}{(5 + x).(5 - x)} = \\ \\ = \sf \frac{5 - x - 5 - x}{(5 + x).(5 - x)} = \frac{ - 2x}{(5 + x).(5 - x)} .$

Agora vamos multiplicar essa expressão resultante pela fração que se encontra fora do parêntese.

$\sf \frac{ - 2x}{(5 + x).(5 - x)} . \frac{3}{x} = \frac{ - 6 \cancel{x}}{ \cancel{x}.(5 + x).(5 - x)} = \frac{ - 6}{(5 + x).( 5 - x)}$

Substituindo o valor a qual o "x" tende:

$\sf \frac{ - 6}{(5 + x).(5 - x)} = \frac{ - 6}{(5 + 0).(5 - 0)} = \frac{ - 6}{5.5} = \frac{ - 6}{25} \\ \\ \sf portanto : \\ \\ \boxed{ \sf \lim_{x \rightarrow0} \frac{3}{x} .( \frac{1}{5 + x} - \frac{1}{5 - x} ) = - \frac{6}{25}}$

Irem c):

$\boxed{\sf \lim_{x \rightarrow0} \frac{(x + 3) {}^{3} - 27}{x} }$

• Já é de praxe saber que devemos observar se há ou não indeterminação:

$\sf\frac{(x + 3) {}^{3} - 27}{x} =\frac{(0+ 3) {}^{3} - 27}{0} \\\\ \sf \frac{(0) {}^{3} - 27}{0} = \frac{0-27}{0}=\frac{-27}{0}$

Deu um resultado meio diferente dos outros, mas ainda assim não deixar de ser uma indeterminação, pois não é definido a divisão de um número por "0", agora o jeito é manipular. Vamos começar resolvendo aquele produto notável:

$\sf (x + 3) {}^{3} = x {}^{3} + 3.x {}^{2} .3 + 3.x.3 {}^{2} + 3 {}^{3} \\ \sf (x + 3) {}^{3} = x {}^{3} +9 x {}^{2} + 27x + 27$

Substituindo:

$\sf \frac{x {}^{3} + 9x {}^{2} + 27x - 27}{x} = \frac{x {}^{3} + 9x {}^{2} + 27x}{x} = \\ \\ = \sf \frac{ \cancel{x}.(x {}^{2} + 9x + 27) }{ \cancel{x}} = x {}^{2} + 9x + 27$

Substituindo o valor a qual o "x" tende:

$\sf x {}^{2} + 9x + 27 = 0 {}^{2} + 9. 0 + 27 = 27 \\ \\ \sf portanto : \\ \\ \boxed{\sf \lim_{x \rightarrow0} \frac{(x + 3) {}^{3} - 27}{x} = 27}$

Item d):

$\boxed{ \sf \lim_{x \rightarrow2} \frac{x {}^{2} - 7x + 10}{x {}^{2} - 4}}$

• Verificando se há indeterminação:

$\sf\frac{x {}^{2} - 7x + 10 }{x {}^{2} - 4} = \frac{2^{2}-7.2+10}{2^{2}-4} = \frac{4-14+10}{4-4}=\\ \\= \sf\frac{-10+10}{0}=\frac{0}{0}$

Mete manipulação. Vamos fatorar as expressões do denominador e numerador:

$\begin{cases} \sf x {}^{2} - 7x +10 = (x - 5).(x - 2) \\ \\ \sf x {}^{2} - 4 = (x + 2).(x - 2) \end{cases}$

Substituindo:

$\sf \frac{(x - 5). \cancel{(x - 2)}}{(x + 2). \cancel{(x - 2)}} = \frac{x - 5}{x + 2}$

Substituindo o valor a qual o "x" tende:

$\sf \frac{2 - 5}{x + 2} = \frac{x - 2}{2 + 2} = \frac{ - 3}{4} \\ \\ \sf portanto : \\ \\ \boxed{ \sf \lim_{x \rightarrow2} \frac{x {}^{2} - 7x + 10}{x {}^{2} - 4 } = - \frac{3}{4} }$

Item e):

$\boxed{\sf \lim_{x \rightarrow1} \frac{x + 4}{2x + 1}}$

• Verificação:

$\sf\frac{x + 4}{2x + 1}=\frac{1 + 4}{2.1+ 1}=\frac{5}{2+3}=\frac{5}{3}$

Opa, não tivermos indeterminação, então se encaixa no caso mais básico, onde basta substituir o valor a qual o "x" tende.

Portanto:

$\sf \boxed{ \sf \lim_{x \rightarrow1} \frac{x + 4}{2x + 1} = \frac{5}{3} }$

Espero ter ajudado

Answer 2

⚠ Alternativa A)

$\LARGE\boxed{\boxed{ \lim_{\sf x \to 25} \dfrac{5-\sqrt{x} }{25-x} }}$

$\large{\text{\sf \dfrac{5-\sqrt{x} }{25-x}= \dfrac{5-\sqrt{25} }{25-25}= \dfrac{5-5}{0}= \boxed{\frac{0}{0} } }}$

$\large{\text{\sf \dfrac{5-\sqrt{x} }{25-x}= \dfrac{5-{\sqrt {x}} }{25-x}= \dfrac{5+\sqrt{x} }{5+\sqrt{x} }= }}$

$\large{\text{\sf = \dfrac{5\cdot5+5\sqrt{x} - 5\sqrt{x} - \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} }{(25-x) (5+\sqrt{x} )} = }}$

$\large{\text{\sf = \dfrac{25-x}{(25-x) (5+\sqrt{x} )} = \large\boxed{\boxed{{\text{\sf \dfrac{1}{ 5+\sqrt{x} } }}}} }}$

☣ Substituindo o "x" tende:

$\large{\text{\sf \dfrac{1}{ 5+\sqrt{x} } = \dfrac{1}{5+\sqrt{25} }=\boxed{\boxed{ \dfrac{1}{10}}} }}$

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⚠ Alternativa B)

$\LARGE\boxed{\boxed{ \lim_{\sf x \to 0}\ \dfrac{3}{x} \left( \dfrac{1}{5+x}\ -\ \dfrac{1}{5 -x} \right) }}$

$\large{\text{\sf \dfrac{3}{x}\cdot \left( \dfrac{1}{5+x}\ -\ \dfrac{1}{5-x} \right) = \dfrac{3}{0} \cdot \left( \dfrac{1}{5+0}\ -\ \dfrac{1}{5-0} \right)= }}$

$\large{\text{\sf \dfrac{3}{0}\cdot \left( \dfrac{1}{5}\ -\ \dfrac{1}{5} \right) = \dfrac{3}{0} \cdot (0)= \dfrac{3\cdot 0}{0}= \boxed{\dfrac{0}{0} } }}$

☣ Aplicando a manipulação algébrica:

$\large{\text{\sf \dfrac{1}{5+x}\ -\ \dfrac{1}{5-x} = \dfrac{1\cdot (5-x) -( 5+x)}{(5+x) \cdot (5-x)} }}$

$\large{\text{\sf \dfrac{5-x-5-x}{(5+x) \cdot (5-x)} = \dfrac{-2x}{(5+x)\cdot ( 5-x)} }}$

☣ Agora, iremos multiplicar a expressão resultante pela fração que está fora dos parêntesis.

$\large{\text{\sf \dfrac{-2x}{(5+x) \cdot (5-x) } \cdot \dfrac{3}{x}= \dfrac{-6\not{x}}{\not{x}\cdot (5+x) \cdot (5-x)} = }}$

$\large{\text{\sf \dfrac{ -6\not{x}}{\not{x} \cdot (5+x) \cdot (5-x)} = \dfrac{-6}{(5+x) \cdot (5-x)} }}$

☣ Substituindo o valor do "x" tende:

$\large{\text{\sf \dfrac{-6}{(5+x) \cdot (5-x)} = \dfrac{-6}{(5+0) \cdot(5-0)}= \dfrac{-6}{5\cdot 5} =\boxed{\dfrac{-6}{25}} }}$

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⚠ Alternativa C)

$\LARGE\boxed{\boxed{ \lim_{\sf x \to 0} \dfrac{(x+3)^3 -27}{x} }}$

$\large{\text{\sf \dfrac{(x+3)^3 -27}{x} \right)=\dfrac{(0+3)^3 -27}{0} }}$

$\large{\text{\sf \dfrac{(0)^3 -27}{0} \right)=\dfrac{0-27}{0} =\boxed{\dfrac{-27}{0} } }}$

☣ Resolvendo o produto notável ( x + 3 )³ :

$\large{\text{\sf (x+3)^3 = x^3 +3\cdot x^2 \cdot 3+3\cdot x\cdot 3^2 +3^3 }}$

$\large{\text{\sf (x+3)^3 =9x^2 +27x +27 }}$

☣ Substituindo:

$\large{\text{\sf \dfrac{x^3 +9x^2 +27x-27}{x}= \dfrac{x^3 + 9x^2 + 27x}{x} = }}$

$\large{\text{\sf \dfrac{x\cdot (x^2 + 9x + 27)}{x} = x^2+ 9x+ 27 }}$

☣ Substituindo o "x" tende:

$\large{\text{\sf x^2 +9x +27=0^2 +9\cdot 0+27 = \boxed{27} }}$

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⚠ Alternativa D)

$\LARGE\boxed{\boxed{ \lim_{\sf x \to 2} \dfrac{x^2-7x+10}{x^2-4} }}$

$\large{\text{\sf \dfrac{x^2 -7x +10}{x^2-4}= \dfrac{2^2 -7\cdot 2 +10}{2^2 -4}= \dfrac{4-14+10}{4-4} }}$

$\large{\text{\sf \dfrac{-10+10}{0} = \dfrac{0}{0} }}$

☣ Fatorando as expressões do denominador e do numerador:

$\begin{cases}. \large{\text{\sf x^2 -7x + 10= (x-5) \cdot(x-2) }}\\\\\large{\text{\sf x^2 -4 = (x+2) \cdot (x-2) }} \end{cases}$

☣ Substituindo:

$\large{\text{\sf \dfrac{(x-5) \cdot (x-2)}{(x+2) \cdot (x-2)} = \boxed{\dfrac{x-5}{x+2}} }}$

☣ Substituindo o valor a qual o "x" tende:

$\large{\text{\sf \dfrac{2-5}{x+2} = \dfrac{x-2}{2+2} = \boxed{\dfrac{-3}{4}} }}$

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⚠ Alternativa E)

$\LARGE\boxed{\boxed{ \lim_{\sf x \to 1} \dfrac{x+4}{2x +1} }}$

$\large{\text{\sf \dfrac{x+4}{2x +1} = \dfrac{1+4}{2\cdot 1+1} = \dfrac{5}{2+1} = \boxed{\dfrac{5}{3} } }}$

☣ Não há indeterminação, portanto o resultado é :  $\large\boxed{\dfrac{5}{3}}$

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