Question

Limites Indeterminados

Answer 1

Resposta:

xy²-x²y+y³+2xy-2x²+2y² =-(2 + y) (x² -xy-y²)

2xy+4x+y+2 =(2x+1)*(y+2)

a)

lim (xy²-x²y+y³+2xy-2x²+2y² )/(2xy+4x+y+2)

x-->1

y-->-2

lim   -(2 + y) (x² -xy-y²)/(2x+1)*(y+2)

x-->1

y-->-2

lim   -(x² -xy-y²)/(2x+1)

x-->1

y-->-2

=-(1+2-4)/(2+1) = 1/3

Answer 2

Resposta:

O limite é 1/3

Explicação passo a passo:

Neste cálculo de limites

$lim..de.. \frac{xy^2-x^2y+y^3+2xy-2x^2+2y^2}{2xy+4x+y+2}$ , quando x -->1   e  y--> -2

Chegamos a uma Indeterminação do tipo:

$\frac{0}{0}$

Decompor em fatores o numerador e denominador

Numerador → agrupam-se os três primeiros e os três últimos monómios

Colocando em evidência "y" no primeiro grupo e "2" no segundo grupo

Depois disso ainda se colocou em evidência ( xy - x²+ y²)

= y * ( xy - x²+ y²) + 2 *( xy -x² + y²) = ( xy -x² + y²) * ( y + 2 )

Denominador → agrupam-se os dois primeiros e os dois últimos monómios

( 2xy + 4x) + ( y + 2 )

Colocando em evidência "2x" no primeiro grupo e manter o segundo grupo

= 2x ( y + 2 ) + ( y + 2)

Colocando em evidência o ( y + 2 )

= ( y + 2) * ( 2x + 1 )

$lim..de.. \frac{y*(xy-x^{2} +y^{2})+2*(xy-x^{2} +y^{2}) }{2x*(y+2)+(y+2)}$

$lim..de.. \frac{(xy-x^{2} +y^{2})*(y+2) }{(y+2)+(2x+1)}$

O fator ( y + 2 ) do numerador e do denominador cancelam-se

$lim..de.. \frac{xy-x^{2} +y^{2} }{2x+1}$

Substituindo x = 1 e y = - 2

$\frac{1*(-2)-1^{2} +(-2)^{2} }{2*1+1} = \frac{-2-1+4}{3} =\frac{1}{3}$

Observação final → Quando, em limites de frações racionais, temos uma

indeterminação   $\frac{0}{0}$ , sendo os limites finitos, o procedimento é decompor

em fatores o numerador e o denominador.

Haverá fator(es) no numerador que irá se cancelar com fator(es) no

denominador, levantando a indeterminação.

Ter em conta que os agrupamentos que se fazem não são sempre como

aqui , em que estão seguidos uns aos outros,

Por vezes tem que se andar " à pesca" de que elementos para cada

agrupamento.

Aí ou se tem perspicácia para encontrar agrupamentos certos ou tem que

se ir por tentativas.

Bom estudo.

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Sinais: ( * ) multiplicação