Question

LIMITES, calcule $\lim_{x \to \ a } \frac{ sec x - sec a}{x - a}$

Answer 1

O limite

$L = \displaystyle \lim_{x \to a} \, \dfrac { f(x) - f(a)}{x-a}$  ( I )

quando existe é conhecido como a derivada de f no ponto a. É comum também encontrarmos ele expresso na forma

$L = \displaystyle \lim_{h \to 0} \, \dfrac { f(a+h) - f(a)}{h}$ ( II )

onde obtemos ( II ) a partir de ( I ) fazendo a mudança de variável h = x-a. Assim, em muitos casos é útil transformar um limite da forma ( I ) em um limite da forma ( II ). Nessa questão temos f(x) = sec(x). Antes de transformá-lo vamos fazer umas simplificações. Lembrando que sec(x) = 1/cos(x) temos

$L = \displaystyle \lim_{x \to a} \, \dfrac { \sec x - \sec a}{x-a} = \displaystyle \lim_{x \to a} \, \dfrac { \dfrac 1{\cos x} - \dfrac 1{\cos a}}{x-a} = \displaystyle \lim_{x \to a} \, -\dfrac {\cos x - \cos a}{x-a}\cdot \dfrac{1}{\cos a \cos x}$ (III)

Note que cos(a)cos(x) tende a cos²(a). Assim, temos apenas que lidar com o outro fator, que é a derivada de do cosseno. Fazendo a substituição x-a = h temos

$M = \displaystyle \lim_{x \to a} \, \dfrac { \cos x - \cos a}{x-a} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \, \dfrac { \cos (a+ h) - \cos a}{x-a}$

Lembrando que

cos(a+h) = cos(a)cos(h) - sen(a)sen(h)

temos

$M = \displaystyle \lim_{h \to 0} \, \cos a \dfrac{\cos h - 1}h - \sin a \dfrac{ \sin h}h$

Usando os limites fundamentais do seno e do cosseno, temos

$\displaystyle \lim_{h \to} \, \dfrac{ \sin h} h = 1 \qquad \textrm{ e } \qquad \lim_{h \to 0} \, \dfrac{ \cos h -1} h = \lim _{h \to 0} \, \left(\dfrac{ \cos h - 1}{h^2}\right)h = 0$

Daí concluímos que M = - sen(a). Substituindo em ( III ) chegamos em

L = sen(a)/cos²(a) = tan(a) sec(a)

Resposta:

sen(a)/cos²(a) = tan(a) sec(a)