Question

LIMITES Calcule $\lim_{x \to \ 0} \frac{x + sen3x}{2x +sen7x}$

Answer 1

$\displaystyle\mathsf{\lim_{x \to 0}\dfrac{x+sen(3x)}{2x+sen(7x)}} \\ = \displaystyle\mathsf{\lim_{x \to 0}\dfrac{1+3cos(3x)}{2+7cos(7x)} = \dfrac{1 + 3}{2 + 7}=\dfrac{4}{9} }$

Answer 2

$L = \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \dfrac{x + \sin 3x}{2x + \sin 7x}$

Sem L'Hopital, uma maneira de se calcular esse limite é usar o limite fundamental:

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\, \dfrac {\sin x} x =1$

Com isso temos que

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\, \dfrac {\sin 3x} x = \displaystyle \lim_{x \to 0}\, 3\cdot\dfrac {\sin 3x} {3x} =3 \qquad \textrm{e} \qquad \displaystyle \lim_{x \to 0}\, \dfrac {\sin 7x} x = \displaystyle \lim_{x \to 0}\, 7\cdot\dfrac {\sin 7x} {7x} =7$

Logo, voltando ao problema basta fatorar x no numerador e no denominador:

$L = \displaystyle \lim_{x \to 0}\, \dfrac {x \left( 1 + \dfrac{\sin 3x}x\right)}{x \left(2 + \dfrac{ \sin 7x}{x} \right)} = \lim_{x \to 0}\, \dfrac { 1 + \dfrac{\sin 3x}x}{2 + \dfrac{ \sin 7x}{x}}$

Na fração acima o numerador tende a 1 + 3 e o denominador tende a 2 + 7. Portanto, L = 4/9.

Resposta:

4/9