Question

LIMITES Calcule o limite de$\lim_{x \to \zero} \frac{1 - cos x}{x^{2} }$

OBS: é x tendendo a 0, mas não tava indo.

Answer 1

de acordo com o enunciado vem:

lim x -->0  (1 - cos(x)) / x² = 1/2

Answer 2

Um resultado útil para essa questão é o limite fundamental  do seno:

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \, \dfrac {\sin x}x= 1$          ( I )

Mas notamos que não há seno na expressão. Daí vamos usar a relação  trigonométrica

sen²x + cos²x = 1           ( II )

para criar um seno. Para concluir o problema também precisaremos da seguinte propriedade dos limites:

$\begin{cases} \displaystyle \lim_{x \to a} \, f(x) = M \\[2ex]\displaystyle \lim_{x \to a} \, g(x) = N \end{cases} \implies \displaystyle \lim_{x \to a} \,f(x)g(x) = MN$         ( III )

Com as ideias acima podemos resolver o problema. Observamos que a equação ( II ) acima implica que

sen²x = 1-cos²x = (1-cos x)(1+cos x)

Logo, vamos multiplicar o numerador e o denominador por (1+cos x):

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \, \dfrac{1- \cos x}{x^2} = \lim _{x \to 0}\, \dfrac{1-\cos x}{x^2} \cdot \dfrac{1+\cos x}{1+\cos x} = \lim_{x \to 0}\, \dfrac{ \sin^2x}{ x^2(1+\cos x)}$

Agora é só usar  ( I ) e ( III ) para concluir o problema:

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \, \dfrac{1-\cos x}{x} = \left( \lim_{x \to 0} \, \dfrac { \sin x}x \right)^2 \cdot \lim_{x \to 0} \,\dfrac{1}{1+ \cos x} = \dfrac 12$

Resposta:

O limite procurado é 1/2.