Question

(Limites) - 1) Aplicando os limites fundamentais, calcule e explique o cálculo :

Answer 1

Introdução ao tópico de cálculo de limites:

• Um limite é um número que uma função se aproxima quando seu argumento também se aproxima de outro número. Em uma função de duas variáveis do tipo y = f(x), quando x se aproxima do valor de a, a função se aproxima do valor L que corresponde ao limite. A notação é assim:

$L=\underset{x\to a}{\lim}~f(x)$

• À medida que x se aproxima do valor de x, a função f se aproxima do valor de L. Alguns limites são óbvios e correspondem ao mesmo valor de a avaliado na função. No entanto, os limites não são usados em casos óbvios, mas em funções mais complexas, onde o valor de uma função pode ser desconhecido ou inacessível.

Para acessar o valor desse limite podemos usar limites fundamentais como alívio, alguns desses limites são:

$\boxed{\underset{x\to \infty}{\lim}~\left(1\pm\dfrac{1}{x}\right)^{\pm x}=e}\boxed{\underset{x\to 0}{\lim} ~\left(\dfrac{\sin{(kx)}}{kx}\right)=1}\boxed{\underset{x\to 0}{\lim}~\left(\dfrac{1-\cos{(kx)}}{kx}\right)=0}$

Solução do problema:

Queremos calcular o valor do seguinte limite:

$L=\underset{x\to \infty}{\lim}~\overbrace{\left(\dfrac{x}{x+1}\right)^x}^{\tt f(x)}$

Observe que não é necessário substituir x por infinito em toda a expressão, podemos perceber que esse resultado é indeterminado, pois imagine um número elevado ao infinito, sabemos que infinito é um número bastante grande, então é possível estimar ou calcule o valor dessa potência? Não, quando um número é elevado a uma potência bastante grande podemos ver que seu resultado é corozar pois quanto maior a potência, maior o resultado ou menor (se for uma fração), já que infinito é um número tão grande que podemos não sabe seu valor ao elevar um número ao infinito não é possível saber seu valor.

Primeiro vamos estimar o valor do limite para o qual substituímos números bem grandes (que podemos contar) na função f e veremos de qual valor a função se aproxima à medida que nos aproximamos do infinito.

$\begin{array}{c|c}\tt x&\tt f(x)\\\\ \tt 10& \tt 0,3855432895\\\\ \tt 100&\tt0,3697112123\\\\ \tt 1.000&\tt 0,3680633039\\\\ \tt 10.000&\tt 0,367897838\\\\ \tt 100.000&\tt 0,3678812806\\\\ \tt 1.000.000&\tt 0,3678792572\end{array}$

Observe que, substituindo x por números muito grandes, a função diminui, mas há um certo ponto em que os 4 primeiros números decimais são 0,3678, então podemos estimar que nosso limite tem essas 4 primeiras casas decimais. Observe que o limite que temos é algo como o limite do número exponencial ou o número de Euler (e), mas com algumas pequenas modificações.

• Primeiro vamos aplicar a divisão de polinômios para simplificar nosso limite.

$\begin{array}{c|c}x&\underline{1+x}\\ -\,\underline{~~x+1~~}& 1\\ \qquad-1\end{array}$

Graças à divisão de polinômios, nosso limite será algo semelhante ao limite do número de Euler, ou seja, nosso limite pode ser escrito desta forma equivalente:

$L=\underset{x\to \infty}{\lim}~\left(1-\dfrac{1}{x+1}\right)^x$

Observe que o limite já é algo parecido com o limite para calcular o número de Euler (e) mas com a pequena diferença que o denominador não possui x+1, então o que faremos é aplicar uma substituição para que x+1 desapareça e que resta apenas uma variável que chamaremos de u, por conveniência vamos adicionar 1 ao expoente e para não alterar a igualdade vamos subtrair 1 desta forma temos:

$L=\underset{x\to \infty}{\lim}~\left(1-\dfrac{1}{x+1}\right)^{x+1-1}\to L=\underset{x\to \infty}{\lim}~\left(1-\dfrac{1}{(x+1)}\right)^{(x+1)-1}\\\\\\ L=\underset{x\to \infty}{\lim}~\left(1-\dfrac{1}{u}\right)^{u-1}\to com~ u=x+1$

Uma vez aplicada a substituição de variáveis, o que precisamos é ver de qual valor essa variável se aproxima, para isso vamos substituir o valor que aproxima x no limite fazendo isso podemos ver que:

$\sf\bullet u=\infty +1\quad\to\quad u=\infty \bullet$

Então temos esse novo limite ainda mais fácil de resolver:

$L=\underset{u\to \infty}{\lim}~\left(1-\dfrac{1}{u}\right)^{u-1}\\\\\\ L=\underset{u\to \infty}{\lim}~\left(1-\dfrac{1}{u}\right)^u\cdot \left(1-\dfrac{1}{u}\right)^{-1} \\\\\\ L=\underset{u\to \infty}{\lim}~\left(1-\dfrac{1}{u}\right)^u\cdot\underbrace{\underset{u\to \infty}{\lim}~ \left(1-\dfrac{1}{u}\right)^{-1}}_1 \\\\\\ L=\underset{u\to \infty}{\lim}~\left(1-\dfrac{1}{u}\right)^u$

Observe que o limite que temos já é muito parecido com o limite para calcular o número de Euler apenas com a pequena diferença que a fração é negativa e não positiva então vamos multiplicar o expoente por -1 e não alterar a igualdade que estou vai multiplicar por -1 pela segunda vez já que negativo por negativo é positivo (lei dos sinais), fazendo essa mudança temos que:

$L=\underset{u\to \infty}{\lim}~\left(1-\dfrac{1}{u}\right)^{u\cdot(-1)\cdot (-1)} \\\\\\ L=\left[\underbrace{\underset{u\to \infty}{\lim}~\left(1-\dfrac{1}{u}\right)^{-u} }_e\right]^{-1}\\\\\\\boldsymbol{\blue{L=e^{-1}\qquad ou\qquad L=\dfrac{1}{e}}}$