Question

limite x²-4x+4/x-2 h tendendo a 2

Answer 1

Resposta:

Solução:

$\displaystyle \sf \lim_{x \to 2} \dfrac{x^{2} -4x+4}{x-2}$

Em alguns casos nos deparamos com indeterminações, veja esse caso:

$\displaystyle \sf \lim_{x \to 2} \dfrac{x^{2} -4x+4}{x-2}$

$\displaystyle \sf \lim_{x \to 2} \dfrac{x^{2} -4x +4}{x-2} = \dfrac{2^2 -4 \cdot 2 + 4}{2-2} = \dfrac{4 - 8 +4 }{0} = \dfrac{4 + 4 - 8 }{0} = \dfrac{0}{0}$

Portanto, o limite apresenta uma indeterminação do tipo 0/0.

Temos que driblar dessa indeterminação,  usando a regra de L’Hospital ou fazendo  fatoração de: x² - 4 +4:

Aplicando a regra de L' hospital:

Primeira regra de L’Hˆopital:

Sejam f e g funções derivareis num intervalo aberto I, exceto possivelmente em um ponto a de I. Suponha que, para todo ≠ a em I, g' (x) ≠ 0. Se:

$\displaystyle \sf \lim_{n \to a} f(x) = \lim_{n \to a} g(x) = 0$

$\displaystyle \sf \lim_{n \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x) } = \ell, ~ \text{\sf ent{\~a}o} ~ \lim_{n \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \ell$

Segunda regra de L’Hˆopital:

Sejam f e g funções derivareis em: $\textstyle \sf ( a - r , a + r) \setminus \{a\}, r >0, com ~ g'(x) \neq 0 ~para ~ 0< \mid x-a \mid < r$. Se:

$\displaystyle \sf \lim_{n \to a} f(x) = \pm \infty = \lim_{n \to a} g(x)$

e o limite $\textstyle \sf \lim_{n \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ existir  ( ou divergir para ± ∞), então o limite $\textstyle \sf \lim_{n \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}$ também existirá ( ou divergirá para ± ∞).

$\boxed{ \displaystyle \sf \lim_{n \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{n \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} }$

$\displaystyle \sf \lim_{x \to 2} \dfrac{x^{2} -4x+4}{x-2} = \lim_{x \to2} \dfrac{2x-4}{1}$

$\displaystyle \sf \lim_{x \to 2} \dfrac{x^{2} -4x+4}{x-2} = \lim_{x \to 2} 2x -4$

$\displaystyle \sf \lim_{x \to 2} \dfrac{x^{2} -4x+4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \; 2\cdot 2 -4$

$\displaystyle \sf \lim_{x \to 2} \dfrac{x^{2} -4x+4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \; 4 -4$

$\displaystyle \sf \lim_{x \to 2} \dfrac{x^{2} -4x+4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \: 0$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \displaystyle \sf \lim_{x \to 2} \dfrac{x^{2} -4x+4}{x-2} = 0 }}} \quad \gets \text{\sf \textbf{Resposta } }$

Aplicando pela fatoração:

$\displaystyle \sf \lim_{x \to 2} \dfrac{x^{2} -4x+4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \dfrac{ (x-2) \cdot (x-2)}{x-2}$

$\displaystyle \sf \lim_{x \to 2} \dfrac{x^{2} -4x+4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \: (x- 2)$

$\displaystyle \sf \lim_{x \to 2} \dfrac{x^{2} -4x+4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \: (2- 2)$

$\displaystyle \sf \lim_{x \to 2} \dfrac{x^{2} -4x+4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \: 0$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \displaystyle \sf \lim_{x \to 2} \dfrac{x^{2} -4x+4}{x-2} = 0 }}} \quad \gets \text{\sf \textbf{Resposta } }$

''Ser imparcial não significa não ter princípio, e sim profissional''.

                Willyan Taglialenha.

Explicação passo a passo: