Question

limite (x^4-8x^3+18x^2-27) / (x^4-10x^3+36x^2-54x+27)
x->3
RESPOSTA = 2
Alguém poderia resolver este limite, de forma mais detalhada por favor, no site tigeralgebra.com tem a resolução mas está muita complexa. Obg.

Answer 1

Olá

Não é que é complexa, só é longa, pois tem que fazer 3 vezes a divisão de polinômios, vamos lá...

$\lim_{x \to 3} \frac{x^4-8x^3+18x^2-27}{x^4-10x^3+36x^2-54x+27}$


Fazendo a divisão de polinômios fica... (não irei fazer aqui, pois é muito longa..., mas acredito que vc já saiba fazer)

$x^{4}-8x^3+18x^2-27$ ÷ x-3 = x³-5x²+3x+9 ← Numerador

$x^{4}-10x^3+36x^2-54x+27$÷x-3 = x³-7x²+15x+9 ←Denominador

Fica...

$\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)x^3-5x^2+3x+9}{(x-3)x^3-7x^2+15x+9}$


Corta  o (X-3)

$\lim_{x \to 3} \frac{x^3-5x^2+3x+9}{x^3-7x^2+15x+9}$


Se vc substituir o x, continuará dando uma indeterminação, então temos que dividir os polinômios novamente...

x³-5x²+3x+9  ÷ x-3 = x²-2x-3     ←  Numerador
x³-7x²+15x+9 ÷ x-3 = x²-4x+3     ←  Denominador

Fica

$\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)x^2-2x-3}{(x-3)x^2-4x+3}$


Corta o X-3 denovo

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-2x-3}{x^2-4x+3}$


Se vc substituir AINDA vai continuar dando um indeterminação... Então vamos dividir os polinômios mais uma vez

x²-2x-3   ÷   x-3  =  x+1    ← Numerador
x²-4x+3   ÷  x-3  =  x-1     ← Denominador


Fica assim

$\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)x+1}{(x-3)x-1}$


Agora sim! Podemos substituir 
Mais uma vez cortando o X-3

$\lim_{x \to 3} \frac{x+1}{x-1}= \frac{3+1}{3-1}= \frac{4}{2} =2$