Question

limite tende a 0 , calcule (x+3)³ -27/x

Answer 1

Olá,

lim (x+3)³-27/x = 3⁺ - ∞ = - ∞
x→0⁺

lim (x+3)³-27/x = 3⁻ - (-∞) = 3⁻ + ∞ = +∞
x→0⁻

Como os limites laterais são diferentes:

lim (x+3)³-27/x = não existe!
x→0

Answer 2

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{(x+3)^{3}-27}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{(x+3)^{3}-3^{3}}{x}$

Sabemos que a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²). Então:

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{(x+3)^{3}-27}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{([x+3]-3)\cdot([x+3]^{2}+[x+3]\cdot3+3^{2})}{x}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{(x+3)^{3}-27}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{x\cdot([x+3]^{2}+3(x+3)+9)}{x}$

Como o limite avalia o valor da função em valores arbitrariamente próximos de 0 (mas diferentes de 0), então podemos cancelar x:

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{(x+3)^{3}-27}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}([x+3]^{2}+3(x+3)+9)\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{(x+3)^{3}-27}{x}=(0+3)^{2}+3(0+3)+9\\\\\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{(x+3)^{3}-27}{x}=3^{2}+3\cdot3+9\\\\\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{(x+3)^{3}-27}{x}=9+9+9\\\\\\\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{(x+3)^{3}-27}{x}=27}}$
_______________________________

Podemos resolver esse limite rapidamente se percebemos que ele é a definição da derivada de f(h) = h³ no ponto onde h = 3

Por definição, a derivada de f num ponto (h,h³) qualquer é dada por

$f'(h)=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{f(h+x)-f(h)}{x}\\\\\\f'(3)=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{f(3+x)-f(3)}{x}\\\\\\f'(3)=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{(3+x)^{3}-3^{3}}{x}\\\\\\f'(3)=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{(x+3)^{3}-27}{x}$

Logo:

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{(x+3)^{3}-27}{x}=\left\dfrac{d}{dh}f(h)\right|_{h=3}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{(x+3)^{3}-27}{x}=3h^{2}|_{h=3}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{(x+3)^{3}-27}{x}=3\cdot3^{2}\\\\\\\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{(x+3)^{3}-27}{x}=27}}$