Question

Limite.
Por favor,  gostaria da RESOLUÇÃO do seguinte limite:
$\lim_{x \to \ um} \frac{ x^{100-2x+1} }{ x^{50-2x+1} }$ .
Obs: Já tenho a resposta. Gostaria da resolução. Desde já agradeço.

Answer 1

$\lim\limits_{x\rightarrow1}~\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}=\frac{1^{100}-2.1+1}{1^{50}-2.1+1}\\\\\lim\limits_{x\rightarrow1}~\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}=\frac{1-2+1}{1-2+1}\\\\\lim\limits_{x\rightarrow1}~\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}=\frac{0}{0}$

0/0 é uma indeterminação matemática. Podemos aplicar a regra de L'Hopital para calcular esse tipo de limites

$\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow q}~\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow q}~\frac{f'(x)}{g'(x)}}}$

Derivaremos o numerador e o denominador, então:

$f(x)=x^{100}-2x+1\\f'(x)=100x^{100-x}-1.2x^{1-1}+0\\f'(x)=100x^{99}-2\\\\g(x)=x^{50}-2x+1\\g'(x)=50x^{50-1}-1.2x^{1-1}+0\\g'(x)=50x^{49}-2$

$\lim\limits_{x\rightarrow a}~\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}~\frac{f'(x)}{g'(x)}$

$\lim\limits_{x\rightarrow1}~\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}~\frac{100x^{99}-2}{50x^{49}-2}\\\\\lim\limits_{x\rightarrow1}~\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}=\frac{100.1^{99}-2}{50.1^{49}-2}\\\\\lim\limits_{x\rightarrow1}~\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}=\frac{100-2}{50-2}\\\\\lim\limits_{x\rightarrow1}~\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}=\frac{98}{48}\\\\\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow1}~\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}=\frac{49}{24}}}$