Question

Limite do log
Não estou sabendo usar a propriedade, por favor, alguém com resolução comentada pls!

Answer 1

Considere a função

$f(x)=\mathrm{\ell og_3\,}9x-\mathrm{\ell og_2\,}16x$


Esta função é contínua em $x=1.$ Portanto,

$\underset{x\to 1}{\mathrm{\ell im}}~(\mathrm{\ell og_3\,}9x-\mathrm{\ell og_2\,}16x)\\\\ =\underset{x\to 1}{\mathrm{\ell im}}~f(x)\\\\ =f(1)\\\\=\mathrm{\ell og_3\,}(9\cdot 1)-\mathrm{\ell og_2\,}(16\cdot 1)\\\\ =\mathrm{\ell og_3\,}9-\mathrm{\ell og_2\,}16~~~~~~\mathbf{(i)}$

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Relembrando a definição de logaritmo.

Dados números três números reais $a,\,b,\,t$

com $a,\,b>0~\text{ e }~b\ne 1$

Dizemos que o número $t$ é o logaritmo de $a$ na base $b,$ se e somente se

$\boxed{\begin{array}{c}b^t=a \end{array}}$

($t$ é o expoente a que se deve elevar a base $b$ para se obter $a$ como resultado )


Indicamos $t$ como um logaritmo assim:

$\boxed{\begin{array}{c}t=\mathrm{\ell og}_{b\,}a \end{array}}$


de forma que as duas expressões abaixo são equivalentes:

$t=\mathrm{\ell og}_{b\,}a~~\Leftrightarrow~~b^t=a$

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Agora vamos calcular os seguites logaritmos:

$\bullet~~\mathrm{\ell og_3\,}9$

(a que expoente devemos elevar a base $3$ para se obter $9$ como resultado? )

Resposta: $2,$ pois $3^2=9.$

Portanto, $\mathrm{\ell og_3\,}9=2.$


$\bullet~~\mathrm{\ell og_2\,}16$

(a que expoente devemos elevar a base $2$ para se obter $16$ como resultado? )

Resposta: $4,$ pois $2^4=16.$

Portanto, $\mathrm{\ell og_2\,}16=4.$

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Voltando ao limite dado na questão, em $\mathbf{(i)},$ temos que

$\underset{x\to 1}{\mathrm{\ell im}}~(\mathrm{\ell og_3\,}9x-\mathrm{\ell og_2\,}16x)\\\\ =\mathrm{\ell og_3\,}9-\mathrm{\ell og_2\,}16\\\\ =2-4\\\\ =-2\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}\underset{x\to 1}{\mathrm{\ell im}}~(\mathrm{\ell og_3\,}9x-\mathrm{\ell og_2\,}16x)=-2 \end{array}}$