Question

limite de x³-1/x-1 quando x tende a 1

Answer 1

Olá, bom dia.

Para calcularmos o valor do limite desta função racional, podemos utilizar diversas formas.

Seja o limite da função racional:

$\underset{x\rightarrow 1}\lim~\dfrac{x^3-1}{x-1}$

O primeiro método consiste em fatorarmos a expressão no numerador e simplificar a fração.

Podemos fatorar a expressão no numerador utilizando a diferença de dois cubos: $a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2+ab+b^2)$. Lembre-se que $x^3-1=x^3-1^3$.

$\underset{x\rightarrow 1}\lim~\dfrac{(x-1)\cdot(x^2+x\cdot1 +1^2)}{x-1}$

Calcule as potências, multiplique os valores e simplifique a fração

$\underset{x\rightarrow 1}\lim~x^2+x+1$

Esta é uma função polinomial. O limite de uma função contínua é calculado pela propriedade: $\underset{x\rightarrow c}\lim~f(x)=f(c)$.

Aplique a propriedade

$1^2+1+1$

Calcule a potência e some os valores

$1+1+1\\\\\\ 3$

O outro método consiste na aplicação da Regra de L'Hôpital: em caso de indeterminações do tipo $\dfrac{0}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$, no cálculo de limites de funções racionais, diz-se que: $\underset{x\rightarrow c}\lim~\dfrac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\rightarrow c}\lim~\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$, em sendo $f(x)$ e $g(x)$ contínuas e deriváveis em $x=c$ e $g'(x)\neq 0$.

Observe que ao calcularmos o valor da função racional em $x=1$, obtemos:

$\dfrac{1^3-1}{1-1}=\dfrac{0}{0}$

Então, aplique a regra de L'Hôpital.

$\underset{x\rightarrow 1}\lim~\dfrac{x^3-1}{x-1}=\underset{x\rightarrow 1}\lim~\dfrac{(x^3-1)'}{(x-1)'}$

Lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Aplique a regra da soma

$\underset{x\rightarrow 1}\lim~\dfrac{(x^3)'+(-1)'}{(x)'+(-1)'}$

Aplique a regra da potência e da constante, sabendo que $x=x^1$

$\underset{x\rightarrow 1}\lim~\dfrac{3\cdot x^2+0}{1+0}$

Multiplique e some os valores

$\underset{x\rightarrow 1}\lim~3x^2$

Calcule o limite da função contínua, utilizando a mesma propriedade apresentada anteriormente

$3\cdot 1^2$

Calcule a potência e multiplique os valores

$3\cdot1\\\\\\ 3$

Este é o limite desta função racional quando $x$ tende a $1$.