Question

limite de ✓(x²+1)/(x+1) com x -> +infinito

Answer 1

Considerando que: $|x+1|=x+1$, pois $|\infty+1|=\infty+1=\infty$

$\lim_{x \to \infty}\frac{ \sqrt{x^2+1} }{|x+1|}=\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{{x^{2}+1}}{(x+1)^2}}= \lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{{x^{2}+1}}{x^2+2x+1}$

Utilize agora apenas os termos significativos.

$\lim_{x \to \infty}\frac{ \sqrt{x^2+1} }{x+1} = \lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{{x^{2}}}{x^2}} =\lim_{x \to \infty} \sqrt{1} =1$

Answer 2

Olá

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$\displaystyle \lim_{x \to \infty} ~ \frac{ \sqrt{x^2+1} }{x+1} \\ \\ \\ \text{Coloque o 'X' com maior indice em evidencia} \\ \\ \\ \lim_{x \to \infty} ~ \frac{ \sqrt{x^2(1+ \frac{1}{x^2}) } }{x(1+ \frac{1}{x} )} \\ \\ \\ \text{O 'x' sai da raiz como MODULO} \\ \\ \\ \lim_{x \to \infty} ~ \frac{|x| \sqrt{1+ \frac{1}{x^2} } }{x(1+ \frac{1}{x} )} \\ \\ \text{Simplifica}\\ \\\lim_{x \to \infty} ~ \frac{\diagup\!\!\!\!x \sqrt{1+ \frac{1}{x^2} } }{\diagup\!\!\!\!x(1+ \frac{1}{x} )}$


$\displaystyle \\ \\ \\ \text{Pelas propriedades de limites temos que} \\ \\ \frac{k}{\pm\infty} ~=~0~~~~ ~~~k \in R \\ \\ \\ \text{Resolvendo o limite}$

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} ~ \frac{ \sqrt{1+ \frac{1}{x^2} } }{(1+ \frac{1}{x} )}~=~ \frac{ \sqrt{1+0} }{1+0} ~=~ \frac{ \sqrt{1} }{1} ~=~ \frac{1}{1} ~=~\boxed{1}$