Question

limite de X.Ln(X), com X tendendo a 0.

Answer 1

Calcular o limite

     $\displaystyle\lim_{x\to 0}~x\ln x\\\\\\ =\lim_{x\to 0}~\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}\\\\\\ =\lim_{x\to 0}~\frac{\ln x}{x^{-1}}$


Aqui temos uma indeterminação do tipo  ∞/∞.  Podemos aplicar a regra de L'Hôpital e calcular o limite do quociente das derivadas:

     $\displaystyle\lim_{x\to 0}x\ln x\\\\\\ =\lim_{x\to 0}~\frac{\frac{d}{dx}(\ln x)}{\frac{d}{dx}(x^{-1})}\\\\\\ \lim_{x\to 0}~\frac{\frac{1}{x}}{(-1)\cdot x^{-1-1}}\\\\\\=\lim_{x\to 0}~\frac{\frac{1}{x}}{-x^{-2}}\\\\\\ \lim_{x\to 0}~\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}\\\\\\ =\lim_{x\to 0}~\frac{1}{x}\cdot (-x^2)\\\\\\ =\lim_{x\to 0}~(-\,x)$

     $=0$    <————    esta é a resposta.


Bons estudos! :-)

Answer 2

O limite da função x.ln(x) quando x tende a 0 é igual a zero.

Para responder corretamente esse tipo de questão, devemos levar em consideração que:

• Podemos reescrever essa função como ln(x)/(1/x) = ln(x)/x⁻¹;
• Substituindo x por zero, obtemos uma indeterminação do tipo ∞/∞, logo, podemos utilizar a regra de L'Hôpital;

Utilizando essas informações,  com a regra de L'Hôpital, podemos derivar o numerador e denominador da função:

d(ln(x))/dx = 1/x

d(x⁻¹)/dx = -x⁻²

Logo, temos o limite:

lim (1/x)/x⁻²

x→0

Manipulando a equação, temos:

(1/x)/(1/x²) = x²/x = x

lim x.ln(x) = lim x = 0

x→0             x→0

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