Question

limite de $2x-6\frac}{\sqrt[3]{2x+2} -2\\}$ quando x tende a 3

Answer 1

Usando regras ligadas a limites , obtém-se :

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( gráfico em anexo)

Quando se tem uma expressão e se busca seu limite, com variável tendendo para um valor finito, o primeiro passo é substituir, na expressão, o valor do limite finito, neste caso x tende para 3.

$\large \text{ lim_{x\rightarrow3}~(\dfrac{2x-6}{\sqrt[3]{2x+2}-2}) }\\~\\\\=\dfrac{2\cdot3-6}{\sqrt[3]{2\cdot3+2}-2}\\~\\\\=\dfrac{6-6}{\sqrt[3]{8}-2}\\~\\\\=\dfrac{0}{2-2}\\~\\\\=\dfrac{0}{0}$

Neste caso obtemos um símbolo de indeterminação :

$\dfrac{0}{0}$  

Para obter o limite necessitamos recorrer à regra de L'Hopital :

• quando temos que calcular o limite :

$\lim_{x \to c} \dfrac{f(x)}{g(x)}$    sendo "c" um valor finito

e

• $\lim_{x \to c} f(x)=0$    e $\lim_{x \to c} g(x)=0$

O que esta regra nos diz é que se existir :

$\lim_{x \to c} (\dfrac{f'(x)}{g'(x)} )$

Ele será igual ao

$\lim_{x \to c} \dfrac{f(x)}{g(x)}$

Nota : f'(x) é a derivada de f(x)

Resumindo:

• se existir o limite das derivadas do numerador e no denominador

$\lim_{x \to c} (\dfrac{f'(x)}{g'(x)} )$

Então esse limite é igual a limite da expressão inicial

$\lim_{x \to c} (\dfrac{f(x)}{g(x)} )$

Cálculo das derivadas

→ calculadas, separadamente, as derivadas do numerador e denominador da fração

→ tornar menos confusa a leitura dos cálculos.

Derivada do Numerador:

$(2x-6)'=(2x)' + 6'=2+0=2$

Nota:

• derivada de uma constante é zero
• derivada de uma constante a multiplicar por "x", é apenas a constante

Derivada do Denominador

Tem-se derivada de uma subtração. Que é igual à a subtração das derivadas

$(\sqrt[3]{2x+2}-2)'$

• A derivada de" 2 ", que é uma constante ,é zero.

• As atenções centram-se na derivada de um radical  

Derivada de um radical

• transformar o radical numa potência de expoente fracionário

$\sqrt[3]{(2x+2)^1}=(2x+2)^{\dfrac{1}{3} }$    

• depois calcular a derivada tendo presente que:

$(u(x))^n=n\cdot (u(x))^{n-1} \cdot (u(x))'$

$((2x+2)^{\dfrac{1}{3} })'=\dfrac{1}{3}\cdot (2x+2)^{\dfrac{1}{3}-1 }\cdot (2x+2)'$

$=\dfrac{1}{3}\cdot (2x+2)^{\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{3} }\cdot ((2x)'+(2)')\\~\\\\=\dfrac{1}{3}\cdot (2x+2)^{-\dfrac{2}{3} }\cdot (2+0)\\~\\\\= \dfrac{2}{3} } \cdot (\dfrac{2x+2}{1} )^{-\dfrac{2}{3}$

Observação : o primeiro  $\dfrac{2}{3}$   é o produto de  $\dfrac{1}{3}$  pelo "2" da parte final

2+0=2

Mudança de sinal do expoente de uma potência

• primeiro inverte-se a base
• depois muda-se o sinal

 $=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{(2x+2)^{\dfrac{2}{3}}}$

Agora transformar a potência de expoente fracionário, num radical

$=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{\sqrt[3]{(2x+2)^2} }}$

Com a derivada calculada, no denominador, juntamos a fração toda.

$\lim_{x \to3} \dfrac{2}{\dfrac{2}{3\cdot\sqrt[3]{(2x+2)^2}} }$                

$\lim_{x \to3} \dfrac{2}{\dfrac{2}{3\cdot\sqrt[3]{(2x+2)^2}} }\\~\\\\=\dfrac{2}{\dfrac{2}{3\cdot\sqrt[3]{(2\cdot3+2)^2}} }\\~\\\\=\dfrac{2}{\dfrac{2}{3\cdot\sqrt[3]{8^2}} }$

Cálculo auxiliar

$\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{(2^3)^{2} } =\sqrt[3]{(2^3)\cdot(2^3)}=\sqrt[3]{2^3}\cdot \sqrt[3]{2^3}=2\cdot2=4$

Fim de cálculo auxiliar

Observação → Divisão de frações

Mantém-se a primeira fração, a operação dividir passa a multiplicar pelo inverso da segunda fração

$=\dfrac{2}{\dfrac{2}{3\cdot 4} }=\dfrac{2}{\dfrac{2}{12} }=\dfrac{2}{\dfrac{1}{6} }=2\div\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{1}\div\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{1} \cdot\dfrac{6}{1}=\boxed{\boxed{12}}$

Saber mais sobre limites com regra de L'Hôpital , com Brainly :

https://brainly.com.br/tarefa/53518521?referrer=searchResults

https://brainly.com.br/tarefa/31943063?referrer=searchResults

https://brainly.com.br/tarefa/15304063?referrer=searchResults

Bons estudos.

Att     Duarte Morgado

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$(\cdot)$   multiplicação     ( f(x)' )   derivada de f(x)

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.